Stała Eulera

Stała Eulera

Stała Eulera, znana również jako stała Eulera-Mascheroniego (γ), wynosi około 0,5772156649. Jest to istotna stała matematyczna, która ma zastosowanie w różnych dziedzinach analizy matematycznej.

Historia notacji

Stała została po raz pierwszy zapisana przez szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera w dziele De Progressionibus harmonicis Observationes, gdzie oznaczał ją jako C i O. W 1790 roku włoski matematyk Lorenzo Mascheroni używał symboli A i a. Znak $\backslash gamma$ został wprowadzony później, z uwagi na związek tej stałej z funkcją gamma.

Definicja

Stała Eulera definiowana jest na kilka sposobów, z czego najpopularniejsze to:

• $\backslash gamma\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\backslash left(H\_n\; –\; \backslash ln(n+1)\backslash right),$ gdzie $H\_n$ to liczba harmoniczna.
• $\backslash gamma\; =\; \backslash lim\_\{x\backslash to\; 1^+\}\backslash left(\backslash zeta(x)-\backslash frac\{1\}\{x-1\}\backslash right),$ związek z funkcją ζ Riemanna.
• $\backslash gamma\; =\; -\backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash frac\{\backslash ln\; t\}\{e^t\}\backslash text\{d\}t.$

Własności

Stała Eulera pojawia się w teorii liczb oraz w analizie szeregów harmonicznych. Średnia wartość części ułamkowych z dzielenia liczby naturalnej N przez liczby mniejsze od N dąży do wartości $1\; –\; \backslash gamma$ w miarę wzrostu N. Ponadto, w kontekście szeregów, występuje wzór:

$e^\backslash gamma\; =\; \backslash prod\_\{k=1\}^\backslash infty\backslash frac\{\backslash sqrt[k]\{e\}\}\{1+\backslash frac\{1\}\{k\}\}\; \backslash approx\; 1\{,\}78107\backslash dots$

Do tej pory (stan na 2024) nie udowodniono wymierności stałej γ, a jeśli byłaby liczbą wymierną, jej mianownik musiałby mieć ponad 10²⁴²⁰⁸⁰ cyfr.

Związki

Stała Eulera znajduje zastosowanie w różnych wyrażeniach, takich jak:

• całki funkcji wykładniczych,
• transformacje Laplace’a logarytmu naturalnego.