Minor

Minory macierzy

Minor to wyznacznik macierzy kwadratowej uzyskanej z danej macierzy poprzez skreślenie określonej liczby wierszy i kolumn. Wyróżniamy dwa rodzaje minorów: minor główny, gdzie skreślono wiersze i kolumny o równych indeksach oraz wiodący minor główny, w którym skreślono ostatnie wiersze i kolumny.

Przykład

Dla macierzy:

skreślając drugi wiersz oraz drugą i trzecią kolumnę, otrzymujemy minor:

Ten minor nie jest główny, ponieważ wybrane indeksy nie są równe. Przykładem minora głównego jest:

Wiodącymi minorami głównymi macierzy $A$ są:

• $\backslash begin\{vmatrix\}\; 1\; \backslash end\{vmatrix\}\; =\; 1$,
• ,
• .

Definicja

Minor stopnia $k$ dla macierzy $A$ typu $m\; \backslash times\; n$ to wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia $k$, uzyskany przez skreślenie $m-k$ wierszy i $n-k$ kolumn. Skreślenie polega na wybraniu indeksów $I$ i $J$ o długości $k$. Jeśli $I\; =\; J$, to mamy do czynienia z minorem głównym. Wiodący minor główny to minor, w którym skreślono ostatnie wiersze i kolumny.

Własności minorów

• Minory stopnia 1 to elementy macierzy; minory główne stopnia 1 to elementy głównej przekątnej.
• Macierz o rzędzie $r\; >\; 0$ ma co najmniej jeden niezerowy minor stopnia $r$; minory o stopniu wyższym od $r$ są zerowe.
• Kryterium Sylvestera: macierz hermitowska (symetryczna w przypadku rzeczywistym) jest dodatnio określona, gdy wszystkie wiodące minory główne są dodatnie, a ujemnie określona, gdy wiodące minory parzystego stopnia są dodatnie, a nieparzystego – ujemne.
• Macierz $m\; \backslash times\; n$ ma $\backslash tbinom\{n\}\{k\}\backslash tbinom\{m\}\{k\}$ minorów stopnia $k$.
• Macierz kwadratowa stopnia $n$ ma dokładnie $n$ wiodących minorów głównych.