Wariacja bez powtórzeń

Wariacja bez powtórzeń

Wariacja bez powtórzeń to dowolny ciąg różnych elementów wybranych z skończonego zbioru. Dla zbioru n-elementowego, gdzie 1 ≤ k ≤ n, ciąg o długości k nazywa się k-wyrazową wariacją bez powtórzeń. Kolejność elementów ma znaczenie, a przy k = n wariacja staje się permutacją.

Liczbę wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego można obliczyć za pomocą wzoru:

$V\_n^k\; =\; \backslash frac\{n!\}\{(n-k)!\}\; =\; n\; \backslash cdot\; (n-1)\; \backslash cdot\; \backslash ldots\; \backslash cdot\; (n-k+1).$

Wariację można również interpretować jako funkcję różnowartościową (iniekcję) ze zbioru k-elementowego w zbiór n-elementowy. Na kalkulatorach liczba wariacji bez powtórzeń ze zbioru r-elementowego do zbioru n-elementowego oznaczana jest symbolem nPr.

Przykłady

• Ze zbioru {a, b, c} można utworzyć następujące 2-elementowe wariacje: ab, ac, ba, bc, ca, cb.
• Z cyfr 1, 2, 3, 4, 5 można uzyskać $\backslash tfrac\{5!\}\{(5-3)!\}=60$ liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach.

Związki z innymi wzorami kombinatorycznymi

Wariacje bez powtórzeń mają powiązania z innymi wzorami, takimi jak:

• $V\_n^k\; =\; C\_n^k\; \backslash cdot\; P\_k$, gdzie $C^k\_n$ to liczba k-elementowych kombinacji ze zbioru n-elementowego.
• $V\_n^\{n-1\}\; =\; V\_n^n\; =\; P\_n$, gdzie $P\_n$ to liczba permutacji zbioru n-elementowego.

Podsumowanie

Wariacje bez powtórzeń są kluczowym elementem kombinatoryki, pozwalającym na analizę różnych układów elementów w zbiorach o określonej liczbie elementów.