Utrata cyfr znaczących

Utrata cyfr znaczących

Utrata cyfr znaczących to zjawisko występujące w obliczeniach komputerowych, spowodowane sposobem reprezentacji liczb rzeczywistych. Szczególnie często pojawia się podczas odejmowania liczb, których różnica jest znacznie mniejsza niż każda z nich. To prowadzi do zmniejszenia liczby cyfr znaczących w wyniku do poziomu nieakceptowalnego. Analiza numeryczna bada metody minimalizowania tych efektów.

Opis zjawiska

Rozważmy dwie bliskie sobie liczby $x$ i $y$. Ich reprezentacje w pamięci komputera to $rd(x)$ oraz $rd(y)$, które mają formę $rd(z)=pm\; m\_tcdot\; 2^c$, gdzie $m\_t$ jest mantysą, a $c$ to cecha. Przy odejmowaniu bliskich liczb wynik zawiera wiele zer na początku, co prowadzi do problemów z normalizacją:

$rd(x-y)=pm\; m\_tcdot\; 2^c,\; quad\; min\; left(\; 0,frac\{1\}\{2\}rightrangle.$

Utrata cyfr znaczących jest szczególnie problematyczna, gdy $|x-y|$ dąży do zera, co powoduje nieograniczony wzrost błędu względnego.

Przykłady problemów i ich rozwiązań

Przykład 1

Funkcja $f(x)=sqrt\{x+9\}-3$ dla $x$ bliskich zeru może prowadzić do utraty cyfr znaczących. Aby temu zapobiec, można przekształcić wzór:

$f(x)\; =\; frac\{x\}\{sqrt\{x+9\}+3\}.$

Taka forma nie wymaga odejmowania i minimalizuje ryzyko utraty dokładności.

Przykład 2

Algorytm obliczania pierwiastków równania kwadratowego:

$x\_1\; =\; frac\{-b-sqrt\{b^2\; –\; 4ac\}\}\{2a\},\; quad\; x\_2\; =\; frac\{-b+sqrt\{b^2\; –\; 4ac\}\}\{2a\}.$

W przypadku bliskich zer wartości $-b$ i $sqrt\{b^2\; –\; 4ac\}$ może wystąpić utrata cyfr znaczących. Można tego uniknąć, stosując Wzory Viète’a:

• Pierwiastek pierwszy dla $b\; geq\; 0$ jest dobrze uwarunkowany.
• Pierwiastek drugi dla jest dobrze uwarunkowany.

W obu przypadkach ważne jest, aby unikać operacji odejmowania, które mogą prowadzić do utraty precyzji.