Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie

Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie

Twierdzenie to dotyczy geometrii euklidesowej na płaszczyźnie i stwierdza, że dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków. W oznaczeniach, teza twierdzenia wyraża się proporcją:

$frac\{AD\}\{DB\}\; =\; frac\{AC\}\{BC\}$.

Dowód

Sposób 1

Rozpoczynamy od punktu $A$ i prowadzimy półprostą prostopadłą do dwusiecznej $CD$ w punkcie $O$, która przecina przedłużenie boku $BC$ w punkcie $B’$. Zauważamy, że $|AO|\; =\; |OB’|$ oraz $|AC|\; =\; |B’C|$.

Następnie przez $B’$ prowadzimy prostą równoległą do boku $AB$, która przecina $CD$ w punkcie $D’$. Trójkąty $\Delta ADO$ i $\Delta B’D’O$ są przystające, co daje $|D’B’|\; =\; |AD|$. Z podobieństwa trójkątów $\Delta DBC$ i $\Delta D’B’C$ wynika:

$frac\{AD\}\{DB\}\; =\; frac\{AC\}\{BC\}$.

Sposób 2

Przyjmujemy oznaczenia długości boków:

• $|AC|\; =\; b$,
• $|BC|\; =\; a$,
• $|AD|\; =\; m$,
• $|BD|\; =\; n$.

Na podstawie twierdzenia sinusów dla trójkątów $\Delta ADC$ i $\Delta DBC$ mamy:

$frac\{m\}\{sin\; x\}\; =\; frac\{b\}\{sin\; y\}$ oraz $frac\{n\}\{sin\; x\}\; =\; frac\{a\}\{sin\; y\}$. Po podzieleniu tych równości otrzymujemy:

$frac\{m\}\{n\}\; =\; frac\{b\}\{a\}$.

Sposób 3

Stosunek pól trójkątów o równej wysokości jest równy stosunkowi długości ich podstaw, zatem:

$frac\{P\_\{\Delta ADC\}\}\{P\_\{\Delta DBC\}\}=frac\{m\}\{n\}\; =\; frac\{b\}\{a\}$.

Uogólnienie

Uogólnione twierdzenie o dwusiecznej stwierdza, że dla punktu $D$ na prostej $BC$ oraz punktu $A$ nie leżącego na tej prostej, mamy:

$frac\{AD\}\{DB\}\; =\; frac\{AC\}\{BC\}\; =\; frac\{|AB|sinangle\; BAD\}\{|AC|sinangle\; CAD\}$.

Dowód jest tym samym zakończony.