Twierdzenie Jordana-Höldera

Twierdzenie Jordana-Höldera

Twierdzenie Jordana-Höldera to kluczowy wynik w teorii grup, który zapewnia jednoznaczność konstrukcji ciągu kompozycyjnego grupy. Stwierdza, że wszelkie dwa ciągi kompozycyjne danej grupy są równoważne, co oznacza, że mają tę samą długość, a ich ilorazy są izomorficzne w pewnym porządku.

Pierwszą część tego twierdzenia, dotycząca niezmienniczości rzędów grup ilorazowych, udowodnił Camille Jordan w 1870 roku. Uzupełnienie, które dotyczyło jednoznaczności, przedstawił Otto Hölder w 1889 roku, wykazując, że ilorazy są niezależne od rozważanego ciągu. Twierdzenie to odnosi się również do pozaskończonych rosnących ciągów kompozycyjnych, ale nie do pozaskończonych malejących, co zostało stwierdzone przez Garretta Birkhoffa w 1934 roku.

W ciągu lat podejmowano próby uproszczenia dowodu tego twierdzenia, co prowadziło do nowych wyników, takich jak twierdzenie Schreiera z 1928 roku oraz lemat Zassenhausa z 1934 roku. Obydwa wyniki są powiązane z zagęszczeniem ciągów kompozycyjnych.

Twierdzenie

Niech $G$ będzie grupą z ciągiem kompozycyjnym. Wówczas zachodzą następujące stwierdzenia:

• Lemat: Każdy właściwy ciąg (podnormalny) można zagęścić do ciągu kompozycyjnego.
• Twierdzenie Jordana-Höldera: Dowolne dwa ciągi kompozycyjne $G$ są równoważne.

Dowód

Załóżmy, że $E\; =\; G\_0\; \backslash trianglelefteq\; \backslash ldots\; \backslash trianglelefteq\; G\_n\; =\; G$ jest podnormalnym ciągiem właściwym grupy $G$, a $H\; =\; H\_0\; \backslash trianglelefteq\; \backslash ldots\; \backslash trianglelefteq\; H\_m\; =\; G$ jest ciągiem kompozycyjnym. Z twierdzenia Schreiera istnieją równoważne ciągi $(g’)$ oraz $(h’)$, gdzie $(g’)$ jest zagęszczeniem $(g)$, a $(h’)$ zagęszczeniem $(h)$.

Usuwając powtarzające się ilorazy z $(g’)$ i $(h’)$, otrzymujemy dwa równoważne ciągi właściwe, które są również zagęszczeniami $(g)$ i $(h)$.

W wyniku tego dowodzimy, że dowolny ciąg właściwy $(g)$ ma zagęszczenie $(g”)$, które jest ciągiem kompozycyjnym. Naśladując to rozumowanie, udowadniamy, że każde dwa ciągi kompozycyjne są równoważne.

Uwagi

Twierdzenie Jordana-Höldera ma kluczowe znaczenie w teorii grup i znajduje zastosowanie w różnych obszarach matematyki.

Bibliografia

• Jordana-Höldera
• Kategoria: Ciągi grup