Twierdzenie Cochrana

Twierdzenie Cochrana

Twierdzenie Cochrana jest istotnym twierdzeniem w analizie wariancji, będącym odwrotnością twierdzenia Fishera. Dotyczy ono niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym.

Założenia

Rozważmy zmienne losowe $U\_1,\; U\_2,\; \backslash dots,\; U\_n$, które są niezależne i mają normalny rozkład. Dla tych zmiennych zachodzi równość:

$\backslash sum\_\{i=1\}^n\; U\_i^2\; =\; Q\_1\; +\; \backslash dots\; +\; Q\_k,$

gdzie $Q\_i$ to sumy kwadratów kombinacji liniowych zmiennych $U\_i$, a $r\_i$ to rangi $Q\_i$, spełniające warunek $r\_1\; +\; \backslash dots\; +\; r\_k\; =\; n$.

Teza

Zmienne $Q\_i$ są niezależnymi zmiennymi losowymi, które mają rozkład $\backslash chi^2$ z $r\_i$ stopniami swobody.

Przykład

Załóżmy, że $X\_1,\; \backslash dots,\; X\_n$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym z średnią $\backslash mu$ i odchyleniem standardowym $\backslash sigma$. Wówczas:

$U\_i\; =\; \backslash frac\{X\_i\; –\; \backslash mu\}\{\backslash sigma\}$

przyjmuje standardowy rozkład normalny. Możemy zapisać:

$\backslash sum\_\{i=1\}^n\; (X\_i\; –\; \backslash mu)^2\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; (X\_i\; –\; \backslash overline\{X\})^2\; +\; n(\backslash overline\{X\}\; –\; \backslash mu)^2.$

Ponieważ trzeci składnik wynosi zero (iloczyn stałej przez sumę zer), a drugi składnik jest sumą identycznych stałych, uzyskujemy:

$\backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash left(\; \backslash frac\{X\_i\; –\; \backslash mu\}\{\backslash sigma\}\; \backslash right)^2\; =\; Q\_1\; +\; Q\_2.$

Ranga $Q\_2$ wynosi 1, a ranga $Q\_1$ wynosi $n\; –\; 1$. Zatem, zgodnie z twierdzeniem Cochrana, $Q\_1$ i $Q\_2$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie $\backslash chi^2$ i stopniach swobody odpowiednio $n\; –\; 1$ i $1$.

Wnioski

Twierdzenie Cochrana potwierdza niezależność średniej z próby i wariancji z próby. Jako estymator wariancji $\backslash sigma^2$ często stosuje się:

$\backslash hat\{\backslash sigma^2\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; \backslash sum\; (X\_i\; –\; \backslash overline\{X\})^2.$

Wynika z tego, że:

$\backslash hat\{\backslash sigma^2\}\; \backslash sim\; \backslash frac\{\backslash sigma^2\}\{n\}\; \backslash chi^2\_\{n-1\},$

co sugeruje, że wartość oczekiwana $\backslash hat\{\backslash sigma^2\}$ wynosi $\backslash frac\{\backslash sigma^2\; n\}\{n\; –\; 1\}.$