Punkt stały

zmiennej rzeczywistej mająca trzy punkty stałe]]
Punkt stały odwzorowania pewnego zbioru w siebie – argument funkcji, dla którego jej wartość jest mu równa. Formalnie: jeśli $X$ jest zbiorem, a $f\backslash colon\; X\backslash to\; X$ funkcją na nim, to jej punktem stałym jest każdy element $x\backslash in\; X$ spełniający równanie:
: $f(x)\; =\; x.$
Nie musi to być punkt w sensie geometrycznym; punktem stałym może być liczba, wektor, ciąg, macierz, inna funkcja, figura lub inny zbiór. Ogół wszystkich punktów stałych danej funkcji oznacza się:
: $\backslash operatorname\{Fix\}(f)\; :=\; \backslash \{x\backslash in\; X\backslash colon\backslash ;\; f(x)=x\backslash \}.$
W różnych dziedzinach matematyki jak algebra, analiza czy topologia udowodniono twierdzenia o punkcie stałym gwarantujące istnienie takich argumentów dla pewnych typów funkcji. Tak powstała cała dyscyplina poświęcona tego typu zagadnieniom: teoria punktu stałego.
Istnieją uogólnienia tego pojęcia jak:
* punkt okresowy definiowany dla dowolnej funkcji wewnątrz zbioru;
* wektor własny określony dla endomorfizmów liniowych i macierzy kwadratowych.

Zastosowania

Część zagadnień matematycznych można sprowadzić do poszukiwania punktów stałych. Przykłady to:
* szukanie optymalnych rozwiązań w teorii gier (zastosowania w ekonomii),
* istnienie rozwiązań pewnych równań różniczkowych,
* szukanie punktów stałych odwzorowań zbiorów częściowo uporządkowanych (zastosowania w informatyce)
* pewne zagadnienia teorii układów dynamicznych i teorii chaosu.
Także rozwiązywanie układu równań, np. liczbowych, sprowadza się do szukania punktu stałego pewnej funkcji. Dokładniej, niech $X$ będzie przestrzenią liniową (np. $\backslash mathbb\{R\}^n$ lub $\backslash mathbb\{C\}^n$) oraz $F\backslash colon\; X\backslash to\; X.$ Punkt $x\backslash in\; X$ jest rozwiązaniem równania $F(x)=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest punktem stałym odwzorowania $f=\backslash mbox\{id\}-F.$