Prawo wielkich liczb

Prawa wielkich liczb

Prawa wielkich liczb to zbiór twierdzeń matematycznych, które opisują, jak liczba przeprowadzonych doświadczeń wpływa na prawdopodobieństwo zdarzenia. Najważniejsze z nich to prawo Bernoulliego, które stwierdza, że:

„Z prawdopodobieństwem bliskim 1 można oczekiwać, że w przypadku dużej liczby prób, częstość danego zdarzenia losowego będzie bliska jego prawdopodobieństwu.”

To prawo, sformułowane przez Jakoba Bernoulliego w 1713 roku, jest uważane za jedno z fundamentalnych w teorii prawdopodobieństwa.

Prawo wielkich liczb Bernoulliego

Jeśli $S\_n$ oznacza liczbę sukcesów w $n$ próbach z prawdopodobieństwem sukcesu $p$, to dla każdego $\backslash varepsilon\; >\; 0$ zachodzi:

$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash mathsf\{P\}\backslash left(\backslash left|\backslash frac\{S\_n\}\{n\}-p\backslash right|\; \backslash leqslant\; \backslash varepsilon\; \backslash right)\; =\; 1.$

Oznacza to, że dla dużych $n$ prawdopodobieństwo, że częstość sukcesów będzie różniła się od $p$, dąży do 1.

Mocne prawo wielkich liczb

Ciąg zmiennych losowych $(X\_n)\_\{n=1\}^\backslash infty$ spełnia mocne prawo wielkich liczb (MPWL), gdy:

$\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash sum\_\{k=1\}^n(X\_k-\backslash mathsf\{E\}X\_k)\; \backslash xrightarrow\{\backslash text\{prawie\; na\; pewno\}\}\; 0.$

Mocne prawo wielkich liczb Kołmogorowa

Jeżeli $(X\_n)\_\{n=1\}^\backslash infty$ to ciąg niezależnych zmiennych losowych, dla którego:

to ciąg $(X\_n)\_\{n=1\}^\backslash infty$ spełnia MPWL. Oznacza to, że jeśli zmienne mają ten sam rozkład i to:

$\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash sum\_\{k=1\}^nX\_k\; \backslash xrightarrow\{\backslash text\{prawie\; na\; pewno\}\}\; \backslash mathsf\{E\}X\_1.$

Słabe prawo wielkich liczb

Ciąg zmiennych losowych $(X\_n)\_\{n=1\}^\backslash infty$ spełnia słabe prawo wielkich liczb (SPWL), gdy:

$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash sum\_\{k=1\}^n(X\_k-\backslash mathsf\{E\}X\_k)=0$

ze względu na prawdopodobieństwo.

Słabe prawo dla parami niezależnych zmiennych o skończonej wariancji

Jeżeli $(X\_n)\_\{n=1\}^\backslash infty$ jest ciągiem parami niezależnych zmiennych losowych z ograniczoną wariancją i:

$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{1\}\{n^2\}\backslash sum\_\{k=1\}^n\; \backslash mathsf\{Var\}X\_k=0,$

to ciąg $(X\_n)\_\{n=1\}^\backslash infty$ spełnia SPWL, co również opiera się na nierówności Czebyszewa.