Liczby zespolone

Liczby zespolone

Liczby zespolone to liczby, które można zapisać w postaci $z\; =\; a\; +\; bi$, gdzie $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi, a $i$ to jednostka urojona, spełniająca warunek $i^2\; =\; -1$. Liczby zespolone można wykorzystywać w różnych dziedzinach matematyki oraz nauk technicznych.

Podstawowe pojęcia

Liczby zespolone składają się z części rzeczywistej $\backslash mathrm\{re\}\; z\; =\; a$ oraz części urojonej $\backslash mathrm\{im\}\; z\; =\; b$. W praktyce operacje na liczbach zespolonych, takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, odbywają się w sposób analogiczny do działań na liczbach rzeczywistych.

Postać algebraiczna i alternatywna

• Postać algebraiczna: $z\; =\; a\; +\; bi$
• Postać alternatywna: $z\; =\; a\; +\; jb$, gdzie $j$ jest jednostką urojoną, co unika pomyłek w zastosowaniach technicznych.

Działania na liczbach zespolonych

Operacje na liczbach zespolonych wykonuje się zgodnie z zasadami arytmetyki, przy czym $i^2\; =\; -1$. Przykłady działań:

• Dodawanie: $(a\; +\; bi)\; +\; (c\; +\; di)\; =\; (a\; +\; c)\; +\; (b\; +\; d)i$
• Mnożenie: $(a\; +\; bi)(c\; +\; di)\; =\; (ac\; –\; bd)\; +\; (bc\; +\; ad)i$
• Podział: $\backslash frac\{a\; +\; bi\}\{c\; +\; di\}\; =\; \backslash frac\{(a\; +\; bi)(c\; –\; di)\}\{c^2\; +\; d^2\}$

Moduł i argument

Moduł liczby zespolonej $z$ definiowany jest jako $|z|\; =\; \backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\}$, a argument $\backslash arg\; z$ to kąt, jaki wektor $\backslash vec\{z\}$ tworzy z osią rzeczywistą.

Postać trygonometryczna i wykładnicza

Postać trygonometryczna liczby zespolonej to $z\; =\; |z|(\backslash cos\; \backslash varphi\; +\; i\; \backslash sin\; \backslash varphi)$, natomiast postać wykładnicza to $z\; =\; |z|\; e^\{i\backslash varphi\}$. Wzór Eulera $e^\{i\backslash varphi\}\; =\; \backslash cos\; \backslash varphi\; +\; i\; \backslash sin\; \backslash varphi$ jest kluczowy w analizie zespolonej.

Historia

Liczby zespolone zaczęły być używane w XVI wieku przez Girolamo Cardano w kontekście równań sześciennych. Ich formalna definicja została wprowadzona przez Williama Hamiltona w XIX wieku.

Zastosowania

• Rozwiązywanie równań kwadratowych z ujemnymi wyróżnikami
• Analiza drgań i fal w inżynierii
• Analiza obwodów elektrycznych
• Mechanika kwantowa

Liczby zespolone są kluczowe w analizie matematycznej, inżynierii oraz wielu innych dziedzinach, co czyni je fundamentalnym narzędziem w nowoczesnej matematyce i naukach przyrodniczych.