Definicja ciągu geometrycznego
Ciąg geometryczny to sekwencja liczb, w której każdy wyraz (oprócz pierwszego) jest iloczynem poprzedniego wyrazu i stałej, zwanej ilorazem ciągu.
Własności ciągu geometrycznego
W ciągu geometrycznym można wyróżnić kilka kluczowych właściwości:
- Iloraz: Stała wartość, przez którą mnożony jest każdy wyraz w celu uzyskania następnego.
- Wzór ogólny: N-ty wyraz ciągu geometrycznego można obliczyć za pomocą wzoru:
a_n = a_1 * q^(n-1), gdzie a_n to n-ty wyraz, a_1 to pierwszy wyraz, a q to iloraz. - Suma wyrazów: Suma n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego wynosi:
S_n = a_1 * (1 – q^n) / (1 – q), dla q ≠ 1.
Przykład ciągu geometrycznego
Rozważmy ciąg: 2, 6, 18, 54, … W tym przypadku:
- Pierwszy wyraz a_1 = 2
- Iloraz q = 3 (6/2 = 3, 18/6 = 3, …)
Można zauważyć, że każdy wyraz jest uzyskiwany przez mnożenie poprzedniego przez 3.
Zastosowanie ciągów geometrycznych
Ciągi geometryczne mają szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach, takich jak:
- Matematyka (rozwiązywanie równań, analiza funkcji)
- Finanse (obliczanie odsetek, inwestycje)
- Nauka (fizyka, chemia, biologia)
Podsumowanie
Ciąg geometryczny to ważna koncepcja matematyczna, która znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach. Zrozumienie jego właściwości oraz sposobów obliczania wyrazów i ich sumy jest kluczowe dla analizy i rozwiązywania problemów. Dzięki ilorazowi, ciągi geometryczne są łatwe do przewidywania i mogą być używane w praktycznych zastosowaniach.
