Pochodna cząstkowa

Pochodna cząstkowa

Pochodna cząstkowa odnosi się do funkcji wielu zmiennych i oznacza pochodną względem jednej z tych zmiennych, przy stałych pozostałych. Używa się jej w rachunku wektorowym oraz geometrii różniczkowej. Oznaczenia pochodnych cząstkowych to: $\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x\},\backslash ;\; f’\_x,\backslash ;\; f\_x\; \backslash text\{\; lub\; \}\; \backslash partial\_x\; f.$

Historia

Pochodne cząstkowe nie wywodzą się bezpośrednio z funkcji wielu zmiennych, lecz z badań nad rodziną krzywych. W 1692 roku Leibniz rozwiązał problem obwiedni dla rodziny krzywych, co doprowadziło do rozwoju notacji pochodnych cząstkowych, która została spopularyzowana przez Adriena-Marie Legendre’a i Carla Gustava Jakoba Jacobiego.

Definicja

Niech $U$ będzie otwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej $\backslash mathbb\; R^n$, a $f\backslash colon\; U\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$ funkcją. Jeżeli istnieje granica:

$\backslash lim\_\{h\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{f(a\_1,\; \backslash dots,\; a\_k+h,\; \backslash dots,\; a\_n)\; –\; f(a\_1,\; \backslash dots,\; a\_k,\; \backslash dots,\; a\_n)\}\{h\},$

to nazywa się ją pochodną cząstkową funkcji $f$ w punkcie $\backslash mathrm\; a$ względem zmiennej $a\_k$.

Związek z pochodną zupełną

Dla funkcji $g(a\_k)\; =\; f(a\_1,\; \backslash dots,\; a\_k,\; \backslash dots,\; a\_n)$, pochodna cząstkowa $f’\_x(a\_1,\; \backslash dots,\; a\_k,\; \backslash dots,\; a\_n)$ jest pochodną funkcji $g$. Przykładowo, dla funkcji $f(x,y)\; =\; x^3\; +\; 3xy\; –\; y^2$, pochodne cząstkowe to:

• $\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x\}\; =\; 3x^2\; +\; 3y$
• $\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; y\}\; =\; 3x\; –\; 2y$

Pochodne wyższych rzędów

Pochodne wyższych rzędów są obliczane poprzez dalsze różniczkowanie. Pochodne czyste to pochodne obliczane względem tej samej zmiennej, natomiast pochodne mieszane dotyczą różnych zmiennych. Na przykład:

• $\backslash frac\{\backslash partial^2\; f\}\{\backslash partial\; x^2\}\; =\; 6x$
• $\backslash frac\{\backslash partial^2\; f\}\{\backslash partial\; y^2\}\; =\; -2$
• $\backslash frac\{\backslash partial^2\; f\}\{\backslash partial\; x\; \backslash partial\; y\}\; =\; 3$
• $\backslash frac\{\backslash partial^2\; f\}\{\backslash partial\; y\; \backslash partial\; x\}\; =\; 3$

Uogólnione twierdzenie Schwarza stwierdza, że jeśli wszystkie pochodne mieszane są ciągłe, to ich wartość zależy jedynie od liczby różniczkowań, a nie od kolejności. Rząd pochodnej cząstkowej oznacza liczbę zastosowanych różniczkowań.

Podsumowanie

Pochodne cząstkowe są kluczowym narzędziem w analizie funkcji wielu zmiennych, pozwalając na badanie zachowania tych funkcji w kontekście ustalonych zmiennych. Ich zastosowanie obejmuje zarówno matematyczne teorie, jak i praktyczne zastosowania w naukach ścisłych.