Dzisiaj jest 25 stycznia 2025 r.
Chcę dodać własny artykuł
Reklama

Operator nabla

Chcę dodać własny artykuł

Nabla i jej definicja

Nabla to notacja używana w rachunku wektorowym, symbolizowana jako \nabla, która ułatwia opis gradientu, dywergencji, rotacji oraz laplasjanu. W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej \mathbb R^3, nabla definiuje się jako:

\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right) = \mathbf i \frac{\partial}{\partial x} + \mathbf j \frac{\partial}{\partial y} + \mathbf k \frac{\partial}{\partial z.

Dla przestrzeni \mathbb R^n nabla przyjmuje postać:

\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_n}\right) = \sum_{i=1}^n \mathbf e_i \frac{\partial}{\partial x_i}.

Zastosowania nabli

Nabla jest używana do definiowania różnych operatorów różniczkowych w przestrzeni euklidesowej.

Gradient i pochodna kierunkowa

Dla pola skalarnego \varphi\colon \mathbb R^3 \to \mathbb R, gradient wyraża się jako:

\mathrm{grad}\; \varphi = \nabla\varphi.

Pochodna kierunkowa wzdłuż wektora \mathbf u może być przedstawiona jako:

\frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf u} = \mathbf u \cdot \nabla\varphi.

Dywergencja

Dla pola wektorowego \mathbf f\colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^3, dywergencję wyraża się jako:

\mathrm{div}\; \mathbf f = \nabla \cdot \mathbf f.

Rotacja

Rotacja pola wektorowego \mathbf f jest zapisana jako:

\mathrm{rot}\; \mathbf f = \nabla \times \mathbf f.

Laplasjan

Laplasjan, operator skalarny dla pola skalarnego, jest zdefiniowany jako:

\Delta = \nabla^2.

Laplasjan wektorowy dla pola wektorowego \mathbf f ma postać:

\nabla^2 \mathbf f = \nabla(\nabla \cdot \mathbf f) – \nabla \times (\nabla \times \mathbf f).

Pochodna kowariantna

Pochodna kowariantna dla pola wektorowego \mathbf f jest opisana jako:

\nabla \otimes \mathbf f.

Złożenia operatorów

Możliwości złożeń operatorów obejmują:

  • \mathrm{div}\;(\mathrm{grad}\; \varphi) = \nabla^2 \varphi.
  • \mathrm{rot}\;(\mathrm{grad}\; \varphi) = 0.
  • \mathrm{div}\;(\mathrm{rot}\; \mathbf f) = 0.
  • \nabla \times (\nabla \times \mathbf f) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf f) – \nabla^2 \mathbf f.

Operator nabla odgrywa kluczową rolę w analizie matematycznej i zastosowaniach fizycznych, umożliwiając efektywne opisywanie zjawisk w różnych dziedzinach nauki.