Nabla i jej definicja
Nabla to notacja używana w rachunku wektorowym, symbolizowana jako , która ułatwia opis gradientu, dywergencji, rotacji oraz laplasjanu. W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej , nabla definiuje się jako:
Dla przestrzeni nabla przyjmuje postać:
Zastosowania nabli
Nabla jest używana do definiowania różnych operatorów różniczkowych w przestrzeni euklidesowej.
Gradient i pochodna kierunkowa
Dla pola skalarnego , gradient wyraża się jako:
Pochodna kierunkowa wzdłuż wektora może być przedstawiona jako:
Dywergencja
Dla pola wektorowego , dywergencję wyraża się jako:
Rotacja
Rotacja pola wektorowego jest zapisana jako:
Laplasjan
Laplasjan, operator skalarny dla pola skalarnego, jest zdefiniowany jako:
Laplasjan wektorowy dla pola wektorowego ma postać:
Pochodna kowariantna
Pochodna kowariantna dla pola wektorowego jest opisana jako:
Złożenia operatorów
Możliwości złożeń operatorów obejmują:
Operator nabla odgrywa kluczową rolę w analizie matematycznej i zastosowaniach fizycznych, umożliwiając efektywne opisywanie zjawisk w różnych dziedzinach nauki.