Funkcja charakterystyczna
Funkcja charakterystyczna rozkładu prawdopodobieństwa \(\mu\) definiowana jest jako:
\(\varphi(t) = \int_{\mathbb{R}} e^{its} \mu(\mathrm{ds}).\)
Dla zmiennej losowej \(X\) oraz jej rozkładu \(\mu_X\), funkcja charakterystyczna może być zapisana jako:
\(\varphi_X(t) = \mathbb{E} e^{itX},\)
gdzie \(\mathbb{E}\) oznacza wartość oczekiwaną. Funkcja ta zawiera pełne informacje o rozkładzie i jest dobrze określona dla każdego rozkładu.
Własności funkcji charakterystycznej
- \(\varphi_X(0) = 1,\)
- \(|\varphi_X(t)| \leqslant 1,\)
- \(\varphi_X(t) = \overline{\varphi_X(-t)},\)
- \(\varphi_X\) jest dodatnio określona.
- \(\varphi_X(t)\) jest jednostajnie ciągła.
- \(\varphi_X\) jest funkcją rzeczywistą dla rozkładów symetrycznych.
Momenty
Moment zmiennej losowej \(X\) można wyznaczyć z funkcji charakterystycznej \(\varphi_X\). Jeżeli istnieje \(n\)-ty moment, to istnieje również \(n\)-ta pochodna funkcji charakterystycznej, co prowadzi do:
\(i^n \mathbb{E} X^n = \varphi_X^{(n)}(0).\)
Wzór Taylora funkcji charakterystycznej przedstawia się jako:
\(\varphi_X(t) = \sum_{k=0}^n \frac{(it)^k}{k!} \mathbb{E}X^k + \mathrm{o}(t^n).\)
Rozkłady i kryteria
Funkcja charakterystyczna determinuje rozkład prawdopodobieństwa. Jeżeli \(\varphi_\mu(t) = \varphi_\nu(t)\) dla wszystkich \(t \in \mathbb{R}\), to \(\mu = \nu\). Zbieżność według rozkładu zmiennych losowych pociąga zbieżność ich funkcji charakterystycznych, co jest opisane w twierdzeniu Lévy’ego-Craméra.
Dystrybuanta i gęstość
Wzór na dystrybuantę \(F\) z funkcji charakterystycznej \(\varphi\) jest dany przez:
Jeżeli \(u\) jest punktem ciągłości, to:
\(F(u) = \lim_{a \to \infty} \int_{-\infty}^u \left(\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{-ist} \varphi(s) e^{-s^2/2a^2} ds\right) dt.\)
Odwrotna transformacja Fouriera pozwala na wyznaczenie gęstości prawdopodobieństwa \(f\):
\(f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{-isx} \varphi(s) ds.\)
Niezależne zmienne losowe
Funkcje charakterystyczne są przydatne w analizie niezależnych zmiennych losowych. Dla \(S_n = a_1 X_1 + \dots + a_n X_n\), funkcja charakterystyczna jest:
\(\varphi_{S_n}(t) = \varphi_{X_1}(a_1 t) \dots \varphi_{X_n}(a_n t).\)
Rozkłady wielowymiarowe
Dla wektora losowego \(\mathbf{X}\) funkcja charakterystyczna jest zdefiniowana jako:
\(\varphi_\mathbf{X}(\mathbf{t}) = \mathbb{E} e^{i\mathbf{t}^\top \mathbf{X}}.\)
Dla przekształcenia afinicznego \(\mathbf{AX} + \mathbf{b}\), funkcja charakterystyczna wyraża się poprzez:
\(\varphi_{\mathbf{AX} + \mathbf{b}}(\mathbf{t}) = \varphi_{\mathbf{X}}(\mathbf{A}^\top \mathbf{t}) e^{i\mathbf{t}^\top \mathbf{b}}.\)
Zgodnie z twierdzeniem Craméra-Wolda, zbieżność wektorów losowych do \(\mathbf{X}\) zachodzi, jeśli dla każdego \(\mathbf{t} \in \mathbb{R}^n\) zbiega także \(\mathbf{tX}_n\) do \(\mathbf{tX}\).
