Okrąg dziewięciu punktów
Okrąg dziewięciu punktów, znany również jako okrąg Feuerbacha, to szczególny okrąg, który przechodzi przez dziewięć charakterystycznych punktów dowolnego trójkąta. Punkty te to:
- Środki boków trójkąta.
- Spodki wysokości z wierzchołków.
- Punkty dzielące na połowy odcinki łączące wierzchołki z ortocentrum.
Historia odkrycia
W 1822 roku Karl Wilhelm Feuerbach zauważył, że sześć wyżej wymienionych punktów leży na wspólnym okręgu. Wcześniejsze badania nad współokręgowością tych punktów prowadzili Charles Brianchon i Jean-Victor Poncelet. Olry Terquem jako pierwszy udowodnił istnienie okręgu dziewięciu punktów i nadał mu tę nazwę.
Dowód
W trójkącie , definiujemy odpowiednie punkty, takie jak ortocentrum oraz środki odcinków. Dowód opiera się na wykazaniu, że punkty są współokręgowe, a podobne argumenty stosujemy do pozostałych punktów, co prowadzi do stwierdzenia, że wszystkie dziewięć punktów leży na wspólnym okręgu.
Własności
Okrąg dziewięciu punktów ma kilka istotnych właściwości:
- Jest styczny wewnętrznie do okręgu wpisanego oraz zewnętrznie do trzech okręgów dopisanych.
- W trójkącie równobocznym pokrywa się z okręgiem wpisanym.
- Środek okręgu dziewięciu punktów leży na prostej Eulera w połowie odcinka łączącego ortocentrum z centrum okręgu opisanego.
- Promień okręgu dziewięciu punktów jest połową promienia okręgu opisanego.
Twierdzenie Feuerbacha
Twierdzenie Feuerbacha stwierdza, że okrąg dziewięciu punktów jest styczny do okręgu wpisanego oraz do okręgów dopisanych, a punkt styczności okręgu wpisanego i okręgu dziewięciu punktów nazywa się punktem Feuerbacha.
Uogólnienia
Okrąg dziewięciu punktów jest krzywą stożkową, która może być rozszerzona na inne figury, co potwierdza, że przez dowolne trzy punkty na przecięciach odcinków wychodzących z wierzchołków trójkąta również przechodzi jedna krzywa stożkowa.
Bibliografia
- Literatura dotycząca geometrii analitycznej i właściwości trójkątów.
Linki zewnętrzne
- Strony poświęcone geometrii i trójkątom.
