Moment pędu

Moment pędu

Moment pędu jest wektorową wielkością fizyczną, która opisuje ruch ciała, szczególnie jego ruch obrotowy. W mechanice klasycznej moment pędu punktu materialnego definiuje się jako iloczyn wektorowy wektora położenia $\backslash boldsymbol\; r$ i pędu $\backslash boldsymbol\; p$:

$\backslash boldsymbol\; L\; =\; \backslash boldsymbol\; r\; \backslash times\; \backslash boldsymbol\; p.$

Jednostką momentu pędu w układzie SI jest $[\backslash frac\{kg\; \backslash cdot\; m^2\}\{s\}].$ Dla ciała o momencie bezwładności $I$ obracającego się z prędkością kątową $\backslash boldsymbol\; \backslash omega$, moment pędu można wyrazić wzorem:

$\backslash boldsymbol\; L\; =\; I\backslash boldsymbol\; \backslash omega.$

Zachowanie momentu pędu

Moment pędu jest stały, gdy nawias Poissona znika, co jest konsekwencją symetrii obrotowej przestrzeni. Dzięki temu energia kinetyczna nie ulega zmianie, a potencjał $U$ zależy wyłącznie od odległości $r.$ Siły centralne, takie jak grawitacyjne, również zachowują tę zasadę:

$\backslash Big[U(\backslash boldsymbol\; r),\; \backslash boldsymbol\; L\backslash Big]\; =\; 0.$

Oznacza to, że ruch odbywa się w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku momentu pędu, co jest widoczne np. w ruchu planet.

Moment pędu w mechanice kwantowej

W mechanice kwantowej operator orbitalnego momentu pędu $\backslash hat\{\backslash boldsymbol\; L\}$ definiuje się przez kwantyzację momentu pędu z mechaniki klasycznej:

$\backslash hat\{\backslash boldsymbol\; L\}\; =\; \backslash hat\{\backslash boldsymbol\; r\}\; \backslash times\; \backslash hat\{\backslash boldsymbol\; p\}.$

W reprezentacji położeniowej operatory $\backslash hat\{\backslash boldsymbol\; r\}$ i $\backslash hat\{\backslash boldsymbol\; p\}$ mają następujące postacie:

$\backslash hat\{\backslash boldsymbol\; r\}\; =\; \backslash boldsymbol\; r,\; \backslash quad\; \backslash hat\{\backslash boldsymbol\; p\}\; =\; -i\; \backslash hbar\; \backslash nabla.$

Operator ten jest wektorowy i składa się z trzech komponent:

• $\backslash hat\; L\_x\; =\; -i\backslash ,\backslash hbar\; \backslash left[y\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; z\}\; –\; z\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; y\}\backslash right],$
• $\backslash hat\; L\_y\; =\; -i\backslash ,\backslash hbar\; \backslash left[z\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\}\; –\; x\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; z\}\backslash right],$
• $\backslash hat\; L\_z\; =\; -i\backslash ,\backslash hbar\; \backslash left[x\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; y\}\; –\; y\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\}\backslash right].$

Reguły komutacyjne

Składowe operatora momentu pędu spełniają reguły komutacyjne:

$\backslash left[\backslash hat\{L\}\_i,\; \backslash hat\{L\}\_j\backslash right]\; =\; i\backslash ,\backslash hbar\; \backslash varepsilon\_\{ijk\}\; \backslash hat\{L\}\_k.$

Oznacza to, że nie można jednocześnie zmierzyć wszystkich trzech składowych momentu pędu.

Kwadrat operatora momentu pędu

Kwadrat operatora momentu pędu definiuje się jako sumę kwadratów jego składowych:

$\backslash hat\{\backslash boldsymbol\; L\}^2\; =\; (\backslash hat\{L\}\_x)^2\; +\; (\backslash hat\{L\}\_y)^2\; +\; (\backslash hat\{L\}\_z)^2.$

Kwadrat operatora momentu pędu jest przemienny ze wszystkimi jego składowymi, co pozwala na jednoczesne pomiary momentu pędu i jednej z jego składowych.

Degeneracja poziomów energii

W przypadku sferycznej symetrii poziomy energii układu są zdegenerowane. Wprowadzenie asymetrii, np. w polu magnetycznym, prowadzi do rozszczepienia poziomów energii, co eliminuję degenerację.

Podsumowując, moment pędu jest kluczowym pojęciem zarówno w mechanice klasycznej, jak i kwantowej, mającym istotne konsekwencje w zachowaniu ciał oraz w analizie układów kwantowych.