Logarytm

Logarytm

Logarytm (łac. logarithmus) to funkcja matematyczna, która dla danych liczb $a,\; b>0,\backslash ;a\; \backslash ne\; 1$ definiowana jest jako $\backslash log\_a\; b$, będąca rozwiązaniem równania $a^x\; =\; b$. Liczba $a$ to podstawa logarytmu, a $b$ to liczba logarytmowana.

Historia

Logarytmy zostały po raz pierwszy opisane w XVI wieku przez John’a Napiera i Henry’ego Briggsa, jako narzędzie do uproszczenia skomplikowanych obliczeń w astronomii, nawigacji i handlu. Leonhard Euler był pierwszym, który opracował logarytmy dla liczb zespolonych.

Definicja formalna

Logarytm zdefiniowany jest jako działanie odwrotne do potęgowania, co można zapisać jako:

$\backslash log\_a\; b\; =\; c\; \backslash Leftrightarrow\; a^c\; =\; b$

Dla każdej liczby $a>0,\backslash ;a\; \backslash ne\; 1$ oraz każdej liczby $b>0$ istnieje dokładnie jedna liczba $c$ taka, że $c\; =\; \backslash log\_a\; b$.

Rodzaje logarytmów

• Logarytm binarny: logarytm o podstawie 2.
• Logarytm naturalny: logarytm o podstawie $e\; \backslash approx\; 2\{,\}718281828$, zapisywany jako $\backslash ln\; x$.
• Logarytm dziesiętny: logarytm o podstawie 10, zapisywany jako $\backslash log\; x$ lub $\backslash lg\; x$.

Własności logarytmów

Niektóre ważne wzory logarytmów to:

• Wzór mnożenia: $\backslash log\_a\; (bc)\; =\; \backslash log\_a\; b\; +\; \backslash log\_a\; c$.
• Wzór potęgowania: $\backslash log\_a\; (b^c)\; =\; c\; \backslash cdot\; \backslash log\_a\; b$.

Zastosowania logarytmów

Matematyka

• Używane w analizach regresji i do rozwiązywania równań wykładniczych.
• Podstawowe w teorii informacji (entropia) oraz w algorytmice.

Inne dziedziny

• Skala pH w chemii.
• Skala Richtera w sejsmologii.
• Prawo Webera-Fechnera w psychologii.

Logarytm zespolony

Logarytm może być uogólniony na liczby zespolone, co pozwala obliczać go dla wartości ujemnych. Wzór na logarytm zespolony jest następujący:

$\backslash ln\; z\; =\; \backslash ln\; |z|\; +\; i\; \backslash arg\; z$

gdzie $|z|$ to moduł liczby zespolonej, a $\backslash arg\; z$ to jej argument.

Uwagi

Pojęcie kologarytmu, które oznaczało liczbę przeciwną do logarytmu, odchodzi w zapomnienie. Dziś używa się po prostu $-\backslash log\; x$.

Przypisy i bibliografia

Wszystkie informacje opierają się na znanych definicjach i zastosowaniach logarytmów w matematyce oraz innych dziedzinach.

Linki zewnętrzne

• [Logarithm of a number], Encyclopedia of Mathematics.
• [Logarithms, Explained], TED-Ed na YouTube.