Konwencje w teoriach relatywistycznych

Konwencje w teoriach relatywistycznych

Konwencje związane z indeksami są istotne w teoriach relatywistycznych, takich jak szczególna teoria względności, ogólna teoria względności oraz relatywistyczna mechanika kwantowa. Poniżej przedstawiono kluczowe konwencje i pojęcia.

Konwencja sumacyjna Einsteina

Konwencja sumacyjna Einsteina polega na pomijaniu znaku sumowania, gdy w wyrażeniu występują jednocześnie symbole z indeksami górnymi i dolnymi. Przykładem jest:

$sum\_\{j=0\}^3\; g\_\{ij\}A^j\; =\; g\_\{ij\}A^j$, gdzie indeksem sumacyjnym jest $j$.

Tensor metryczny

Tensor metryczny w układzie współrzędnych krzywoliniowych przedstawia się następująco:

• $g^\{munu\}$ – składowe kontrawariantne
• $g\_\{munu\}$ – składowe kowariantne

Wyznacznik kowariantnego tensora metrycznego oznacza się literą $g$:

$g\; equiv\; det(g\_\{alpha\; beta\})$

Tensor metryczny kontrawariantny jest zadany przez macierz odwrotną:

$[g^\{munu\}]\; =\; [g\_\{munu\}]^\{-1\}$

Indeksy greckie

Indeksy greckie ($alpha,\; beta,\; gamma,\; dots,\; mu,\; nu,\; tau$) przyjmują wartości w zależności od wymiaru przestrzeni. W 4-wymiarowej czasoprzestrzeni indeksy mogą przyjmować wartości $0,\; 1,\; 2,\; 3$, np.:

• $x\_nu$ – składowe kowariantne czterowektora położenia, gdzie $x\_0$ to składowa czasowa, a $x\_1,\; x\_2,\; x\_3$ to składowe przestrzenne.
• $p\_mu$ – składowe kowariantne czterowektora pędu.

Indeksy łacińskie

Indeksy łacińskie ($i,\; j,\; k$) przyjmują wartości $1,\; 2,\; 3$ i są używane w kontekście tensorów zdefiniowanych nad przestrzenią 3-wymiarową. Przykłady:

• $x\_i$ – składowe przestrzenne 3-wektora położenia.
• $p\_i$ – składowe przestrzenne 3-wektora pędu.

Podnoszenie i opuszczanie wskaźników

Aby opuścić wskaźnik tensora, mnoży się go przez tensor metryczny kowariantny:

$V\_mu\; =\; g\_\{munu\}\; V^nu$

Aby podnieść wskaźnik, używa się tensora metrycznego kontrawariantnego:

$V^mu\; =\; g^\{munu\}\; V\_nu$

Pochodna cząstkowa i kowariantna

W przestrzeniach krzywoliniowych pochodna cząstkowa nie ma charakteru tensorowego. Dlatego definiuje się pochodną kowariantną, która ma charakter tensorowy. Oznaczenia:

• Pochodna cząstkowa 1-go rzędu: $V\_\{,mu\}$
• Pochodna kowariantna: $V\_\{;mu\}$

W mechanice kwantowej i klasycznej stosuje się różne oznaczenia, np.:

• Pochodna cząstkowa: $partial\_mu\; V$
• Pochodna kowariantna: $operatorname\{nabla\}\_mu\; V$