Komutant

Komutant

Komutant to podgrupa grupy, która jest kluczowa w badaniu jej struktury. Dla grupy $G$ oraz podzbiorów $A$ i $B$, komutant $[A,\; B]$ jest generowany przez komutatory $[a,\; b]\; =\; aba^\{-1\}b^\{-1\}$, gdzie $a\; in\; A$ i $b\; in\; B$.

Komutant grupy $G$, oznaczany jako $[G,\; G]$, jest również nazywany pochodną grupy i oznaczany jako $G’$ lub $G^\{(1)\}$. Pochodne grupy definiuje się indukcyjnie, przy czym $G^\{(n+1)\}\; =\; big[G^\{(n)\},\; G^\{(n)\}big]$ oraz $G^\{(0)\}\; =\; G$.

Własności komutantów

• Jeśli dla pewnego $n$ grupa $G^\{(n)\}$ jest trywialna, to $G$ jest grupą rozwiązalną.
• Jeżeli $[G,\; G]$ jest trywialna, to $G$ jest grupą abelową.
• Komutant grupy jest podgrupą charakterystyczną i normalną.

Abelianizacja

Grupę ilorazową $G/[G,\; G]$, oznaczaną jako $G\_mathrm\{ab\}$ lub $G^mathrm\{ab\}$, nazywa się abelianizacją grupy $G$. Abelianizacja jest największą grupą abelową będącą obrazem $G$. Grupa ilorazowa $G/H$ jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy $H$ zawiera $[G,\; G]$. Grupy, których abelianizacje są trywialne, określa się jako grupy doskonałe.