Jedynka trygonometryczna

Jedynka trygonometryczna

Jedynka trygonometryczna to tożsamość, która można zapisać jako:

$sin^2x\; +\; cos^2x\; =\; 1.$

Tożsamość ta jest prawdziwa dla wszystkich wartości kąta $x\; in\; mathbb\{R\}$ oraz dla argumentów zespolonych. Istnieją również inne wariacje tego wzoru:

• $sec^2\; x\; –\; operatorname\{tg\}^2\; x\; =\; 1$
• $operatorname\{cosec\}^2\; x\; –\; operatorname\{ctg\}^2\; x\; =\; 1$

Dowód jedynki trygonometrycznej

Sposób 1: Geometria

Rozważmy punkt $P=(x\_0,y\_0)$ oraz punkt $O=(0,0)$, z kątem $angle\{POX\_0\}=alpha$ i długością $|OP|=r$. W trójkącie prostokątnym $POX\_0$ mamy:

$r^2\; =\; x\_0^2\; +\; y\_0^2.$

Definiując funkcje trygonometryczne, uzyskujemy:

$1\; =\; left(frac\{x\_0\}\{r\}right)^2\; +\; left(frac\{y\_0\}\{r\}right)^2\; =\; sin^2alpha\; +\; cos^2alpha.$

Stąd wynika, że $sin^2alpha\; +\; cos^2alpha\; =\; 1$, co potwierdza twierdzenie Pitagorasa.

Sposób 2: Wzór Eulera

Wykorzystując wzory Eulera:

$sin\{x\}\; =\; frac\{e^\{ix\}\; –\; e^\{-ix\}\}\{2i\},\; quad\; cos\{x\}\; =\; frac\{e^\{ix\}\; +\; e^\{-ix\}\}\{2\},$

możemy przekształcić wyrażenie:

$sin^2\{x\}\; +\; cos^2\{x\}\; =\; left(frac\{e^\{ix\}\; –\; e^\{-ix\}\}\{2i\}right)^2\; +\; left(frac\{e^\{ix\}\; +\; e^\{-ix\}\}\{2\}right)^2\; =\; 1.$

Wynik ten potwierdza, że tożsamość jest także prawdziwa w dziedzinie liczb zespolonych.

Sposób 3: Analiza matematyczna

Definiując funkcję:

$f(x)\; =\; sin^2\; x\; +\; cos^2\; x.$

Obliczamy:

$f(0)\; =\; sin^2\; 0\; +\; cos^2\; 0\; =\; 0^2\; +\; 1^2\; =\; 1.$

Pochodna tej funkcji wynosi:

$f\text{'}(x)\; =\; 0.$

Skoro pochodna jest równa zero, $f(x)$ jest funkcją stałą. Zatem, mając $f(0)\; =\; 1$, dochodzimy do wniosku, że:

$sin^2\; x\; +\; cos^2\; x\; =\; 1.$