Grupa Lorentza
Grupa Lorentza odnosi się do transformacji układów współrzędnych w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego, które zachowują interwały czasoprzestrzenne, a początek układu współrzędnych pozostaje niezmieniony. Transformacje te są izometriami w pseudoeuklidesowej przestrzeni i stanowią podgrupę grupy Poincarégo, która obejmuje również translacje.
Symetria Lorentza
Symetria Lorentza jest podstawą wielu fundamentalnych równań fizyki, w tym:
- prawa ruchu w szczególnej teorii względności,
- równania Maxwella w elektromagnetyzmie,
- równanie Diraca w mechanice kwantowej,
- Model Standardowy cząstek elementarnych.
Transformacje Lorentza zachowują postać algebraiczną tych praw poprzez zastąpienie zmiennych w równaniach.
Macierze transformacji Lorentza
Macierze te muszą spełniać dwa główne warunki:
- Nie mogą deformować płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego, co oznacza, że tensor metryczny jest stały.
- Muszą zachować odległości w czasoprzestrzeni.
Wynikiem tych wymagań jest to, że wyznacznik macierzy transformacji wynosi ±1, co oznacza, że macierze Lorentza są macierzami pseudoortogonalnymi.
Rodzaje transformacji Lorentza
Transformacje te obejmują:
- obroty w przestrzeni,
- odbicia przestrzenne,
- odwrócenie czasu,
- właściwe transformacje Lorentza.
Obroty i inwersje
Obroty w przestrzeni tworzą grupę obrotów ortogonalnych, natomiast inwersje (odbicia) i odwrócenie czasu są transformacjami dyskretnymi z wyznacznikiem równym -1.
Właściwe transformacje Lorentza
Te transformacje zachowują jedną składową przestrzenną oraz czas, co ma zastosowanie w układach poruszających się względem siebie. Macierze tych transformacji można wyrazić w postaci macierzy obrotu hiperbolicznego, która charakteryzuje się jednym parametrem.
Generatory transformacji Lorentza
Grupa Lorentza jest parametryzowana przez sześć niezależnych parametrów. Generatory obejmują:
- Trzy generatory obrotów w przestrzeni (T_i),
- Trzy generatory pchnięć Lorentza (K_i) związane z przejściem do układów poruszających się z różnymi prędkościami.
Ogólna macierz transformacji Lorentza może być zapisana jako złożenie obrotów i pchnięć.
Podsumowanie
Grupa Lorentza jest kluczowym elementem w teorii względności, definiującym sposób, w jaki opisywane są transformacje układów współrzędnych w czasoprzestrzeni Minkowskiego. Jej struktura i właściwości mają fundamentalne znaczenie dla zrozumienia równań fizycznych oraz zachowań cząstek elementarnych.
