Filtr o nieskończonej odpowiedzi impulsowej

Filtr o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (IIR)

Filtr IIR, czyli filtr o nieskończonej odpowiedzi impulsowej, to typ filtru cyfrowego, który działa jako układ rekursywny. Charakteryzuje się tym, że odpowiedź na impuls o skończonym czasie trwania teoretycznie trwa nieskończoność, co jest efektem obecności pętli sprzężenia zwrotnego.

Transmitancję filtru IIR można opisać równaniem:

$H(z)\; =\; frac\{Y(z)\}\{X(z)\},$
gdzie:

• $Y(z)$ – transformata Z wyjścia,
• $X(z)$ – transformata Z wejścia.

Alternatywnie, transmitancję można przedstawić jako:

$H(z)\; =\; frac\{a\_0+a\_1\; z^\{-1\}+ldots+a\_p\; z^\{-p\}\}\{1+(b\_1\; z^\{-1\}+ldots+b\_q\; z^\{-q\})\}.$

W tym równaniu zera i bieguny są określone przez miejsca zerowe wielomianu licznika i mianownika.

Zalety i wady filtrów IIR

Filtry IIR oferują pewne korzyści w porównaniu do filtrów FIR:

• niska złożoność obliczeniowa,
• niewielkie zapotrzebowanie na pamięć operacyjną.

Jednak mają też swoje wady:

• Rekursywność, która może prowadzić do utraty stabilności, jeśli bieguny znajdują się poza okręgiem jednostkowym na płaszczyźnie zespolonej.
• Trudności w projektowaniu związane z koniecznością zapewnienia stabilności.
• Wrażliwość na błędy zaokrągleń, co może zmieniać charakterystykę filtru.
• Brak możliwości implementacji jako filtr o liniowej fazie, co oznacza, że różne częstotliwości doświadczają różnych opóźnień.

Współczesne układy cyfrowe oraz procesory sygnałowe sprawiają, że filtry IIR są coraz rzadziej stosowane na rzecz filtrów FIR, które nie mają tych wad.

Przykład użycia filtru IIR

Rozważmy filtr IIR, który estymuje średni koszt użytkowania energii elektrycznej na podstawie rachunku za prąd:

$y(n)\; =\; 0\{,\}5\; cdot\; y(n-1)\; +\; 0\{,\}5\; cdot\; x(n),$
gdzie:

• $n$ – numer miesiąca,
• $x(n)$ – wartość rachunku za bieżący miesiąc,
• $y(n)$ – oszacowana wartość w bieżącym miesiącu,
• $y(n-1)$ – oszacowanie wartości średniej w poprzednim miesiącu.

Przykładowe obliczenia dla $n=1$ i $n=2$ pokazują, jak filtr wygładza sygnał wejściowy.

Na podstawie tego przykładu można zauważyć, że filtr IIR stłumia nagłe zmiany sygnału oraz, że sygnał wyjściowy dąży do zera, ale jej wartość nigdy nie osiągnie, co jest charakterystyczne dla filtrów o nieskończonej odpowiedzi impulsowej.