Epicykloida

Epicykloida

Epicykloida to krzywa, która powstaje w wyniku ruchu punktu na obwodzie okręgu toczącego się bez poślizgu wokół zewnętrznej krawędzi innego, nieruchomego okręgu. Jest to szczególny przypadek epitrochoidy. Kształt epicykloidy zależy od stosunku promieni tych okręgów, oznaczanego jako $\backslash tfrac\{R\}\{r\}$.

Gdy promienie są równe, krzywa przyjmuje postać znaną jako kardioida, co w języku greckim oznacza „sercowa” (od gr. καρδιά – serce).

Opis matematyczny

Epicykloidę można opisać równaniami parametrycznymi:

• $x\; =\; (R+r)\backslash cos(t)\; –\; r\; \backslash cos\backslash left(\backslash frac\; \{R+r\}\; \{r\}\; t\backslash right),$
• $y\; =\; (R+r)\backslash sin(t)\; –\; r\; \backslash sin\backslash left(\backslash frac\; \{R+r\}\; \{r\}\; t\backslash right).$

Przykłady

Poniżej przedstawione są przykłady epicykloid dla różnych wartości stosunku $\backslash tfrac\{R\}\{r\}:$

• Kardioida dla $\backslash tfrac\{R\}\{r\}=1$
• Epicykloida dla $\backslash tfrac\{R\}\{r\}=2$ (nazywana nefroidą)
• Epicykloida dla $\backslash tfrac\{R\}\{r\}=3$

W przypadku, gdy stosunek $\backslash tfrac\{R\}\{r\}$ jest liczbą niewymierną, otrzymuje się krzywą otwartą. Kolejne przybliżenia tej sytuacji ilustrują różne rysunki.