Biegun (analiza zespolona)

Biegun funkcji meromorficznej

Biegun funkcji meromorficznej $f(z)$ to punkt osobliwy $z=a$, w którego otoczeniu funkcja nie jest ograniczona, a w samym punkcie przyjmuje wartość nieskończoną, tj. $\backslash lim\backslash limits\_\{z\backslash to\; a\}\; f(z)=+\backslash infty$ lub $\backslash lim\backslash limits\_\{z\backslash to\; a\}\; f(z)=-\backslash infty$.

W kontekście rozwinięcia w szereg Laurenta, rozróżniamy:

• Jeśli część osobliwa składa się z wyrazów, biegun jest rzędu $k$.
• Jeśli $k\; =\; \backslash infty$, punkt $z=a$ jest punktem istotnie osobliwym, co oznacza, że $\backslash lim\backslash limits\_\{z\backslash to\; a\}\; f(z)$ nie istnieje.

Brak granicy w punkcie osobliwym może być spowodowany różnymi wartościami funkcji uzyskiwanymi z różnych kierunków, podobnie jak w przypadku funkcji rzeczywistych.

Twierdzenia o biegunach i zerach funkcji

Tw. 1: Jeżeli punkt $a$ jest biegunem $m$-krotnym funkcji $f(z)$, to funkcja $g(z)=\backslash tfrac\{1\}\{f(z)\}$ jest meromorficzna i w punkcie $a$ ma zero $m$-krotne. Analogicznie, jeżeli punkt $a$ jest zerem $m$-krotnym, funkcja $f(z)$ ma w tym punkcie biegun $m$-krotny.

Tw. 2: Jeśli punkt $a$ jest biegunem $m$-krotnym funkcji $f(z)$, to funkcja $g(z)$ jest meromorficzna i w punkcie $a$ ma zero $m$-krotne.

Przykłady

Przykład 1: Funkcja $f(z)=\backslash operatorname\{tg\}(z)$ ma bieguny rzędu 1 w punktach $z=\backslash pi(k-\backslash tfrac\{1\}\{2\})$.

Przykład 2: Funkcja $f(z)=\backslash frac\{1\}\{2-z\}+\backslash frac\{1\}\{(z-1)^2\}$:

• Bieguny: W punkcie $z=1$ biegun rzędu 2, w $z=2$ biegun jednokrotny.
• Zera: Po przekształceniach, zera funkcji to $z\_1=\backslash frac\{3+\backslash sqrt\{3\}i\; \}\{2\}$ oraz $z\_2=\backslash frac\{3-\backslash sqrt\{3\}i\; \}\{2\}$.
• Funkcja odwrócona: $g(z)=\backslash frac\{(2-z)(z-1)^2\}\{(z-z\_1)(z-z\_2)\}$, co pokazuje, że miejsca zerowe funkcji $g(z)$ odpowiadają biegunom funkcji $f(z)$ i vice versa.

Bibliografia

* W. Żakowski, W. Leksiński, Matematyka cz. IV, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1978, Rozdział III Funkcje zmiennej zespolonej, s. 233-350. ISBN 978-83-01-19359-1