Baza (przestrzeń liniowa)

Baza – pojęcie będące przeniesieniem oraz rozwinięciem idei układu współrzędnych kartezjańskich w przestrzeniach euklidesowych na abstrakcyjne przestrzenie liniowe.
Uwaga: Bazy w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach nazywane są czasami bazami Hamela (jest to częsty zwyczaj w analizie funkcjonalnej). Z drugiej strony niektórzy matematycy rezerwują nazwę baza Hamela dla dowolnej bazy przestrzeni liczb rzeczywistych jako przestrzeni liniowej nad ciałem liczb wymiernych.

Definicja

Niech $V$ będzie przestrzenią wektorową. Zbiór wektorów $B\; \backslash subseteq\; V$ nazywany jest bazą przestrzeni $V,$ gdy
* jest on liniowo niezależny,
* generuje on przestrzeń $V,$ tj. każdy wektor z przestrzeni $V$ może być zapisany jako kombinacja liniowa wektorów ze zbioru $B$.

Twierdzenie o warunkach równoważnych na bazę przestrzeni wektorowej

Niech $\backslash mathbb\{V\}$ będzie przestrzenią wektorową. Niech wektory $x\_1,\backslash dots,\; x\_n$ należą do tej przestrzeni.
Następujące warunki są równoważne:
# $x\_1,\backslash dots,\; x\_n$ to baza przestrzeni $\backslash mathbb\{V\};$
# $\backslash forall\_\{y\backslash in\backslash mathbb\{V\}\}\backslash \; y$ ma jednoznaczne przedstawienie jako kombinacja liniowa wektorów $x\_1,\backslash dots,\; x\_n;$
# $x\_1,\backslash dots,\; x\_n$ to minimalny układ wektorów generujących $\backslash mathbb\{V\};$
# $x\_1,\backslash dots,\; x\_n$ to maksymalny układ liniowo niezależny.

Dowód

Aby udowodnić twierdzenie, wystarczy pokazać, że z warunku 1 wynika 2, z 2 wynika 3, z 3 wynika 4 i z 4 wynika 1.

1 ⇒ 2

Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 1 i postawmy hipotezę, że przedstawienie pewnego wektora jako kombinacji liniowej wektorów bazy nie musi być jednoznaczne. Zatem istnieje $y\_0,$ taki że:
: $y\_0\; =\; \backslash xi\_1\; x\_1\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash xi\_n\; x\_n,$
: $y\_0\; =\; \backslash Phi\_1\; x\_1\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash Phi\_n\; x\_n.$
Zatem odejmując powyższe równania stronami i grupując współczynniki, korzystając z własności przestrzeni wektorowej, otrzymamy, że:
: $0=y\_0-y\_0=(\backslash xi\_1\; –\; \backslash Phi\_1)x\_1\; +\; \backslash ldots\; (\backslash xi\_n\; –\; \backslash Phi\_n)x\_n.$
Stąd jasno wynika, że $\backslash xi\_1=\backslash Phi\_1,\; \backslash dots,\; \backslash xi\_n\; =\; \backslash Phi\_n$ (ponieważ układ $x\_1,\backslash dots,\; x\_n$ jest liniowo niezależny z definicji bazy), co doprowadza do sprzeczności.

2 ⇒ 3

Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 2 i postawmy hipotezę, że istnieje mniejszy układ wektorów, który generuje przestrzeń i oznaczmy go: $x\_1,\backslash dots,\; x\_\{n-1\}.$
Skoro jest to układ generujący całą przestrzeń, to dowolny wektor tej przestrzeni może być zapisany jako kombinacja liniowa wektorów bazy. W szczególności:
: $x\_n\; =\; \backslash lambda\_1\; x\_1\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash lambda\_\{n-1\}x\_\{n-1\}\; +\; 0\backslash cdot\; x\_n.$
Możemy jednak również wektor $x\_n$ zapisać jako:
: $x\_n=\; 0\backslash cdot\; x\_1\; +\; \backslash ldots\; +\; 0\backslash cdot\; x\_\{n-1\}\; +\; 1\backslash cdot\; x\_n.$
Zauważmy jednak, że $0\backslash neq\; 1.$ Zatem wektor $x\_n$ został przedstawiony na 2 sposoby jako kombinacja wektorów $x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n,$ co stoi w sprzeczności z jednoznacznością przedstawienia wektora $x\_n.$

3 ⇒ 4

Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 3 i postawmy hipotezę, że układ $x\_1,\backslash dots,\; x\_n$ jest liniowo zależny.
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że $x\_1\; =\; \backslash beta\_2\; x\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash beta\_n\; x\_n.$
Weźmy dowolny wektor $y\backslash in\backslash mathbb\{V\}.$ Wtedy:
: $y=\backslash alpha\_1\; x\_1\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\; x\_n\; =\; \backslash alpha\_1\; (\backslash beta\_2\; x\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash beta\_n\; x\_n)+\; \backslash alpha\_2\; x\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\; x\_n\; =\; (\backslash alpha\_1\; \backslash beta\_2\; +\; \backslash alpha\_2)\; x\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; (\backslash alpha\_1\; \backslash beta\_n\; +\; \backslash alpha\_n)\; x\_n.$
Zatem otrzymaliśmy mniejszy układ generujący od $x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n$ co jest sprzeczne z 3. Stąd wynika, że minimalny układ generujący przestrzeń jest liniowo niezależny. Trzeba jeszcze wykazać jego maksymalność.
Przeprowadźmy dowód nie wprost. Postawmy hipotezę, że istnieje większy układ liniowo niezależny. Ustalmy, że układ $v,x\_1,\backslash dots,x\_n$ jest liniowo niezależny. Ponieważ układ $x\_1,\backslash dots,x\_n$ generuje całą przestrzeń $\backslash mathbb\{V\}$ oraz $v\backslash in\backslash mathbb\{V\},$ to:
: $v=\backslash zeta\_1\; x\_1\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash zeta\_n\; x\_n.$
Stąd wynika, że:
: $1\backslash cdot\; v\; –\; \backslash zeta\_1\; x\_1\; –\; \backslash ldots\; –\; \backslash zeta\_n\; x\_n\; =\; 0,$
a to jest sprzeczne z liniową niezależnością układu $v,x\_1,\backslash dots,x\_n.$

4 ⇒ 1

Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 4 i postawmy hipotezę, że układ $x\_1,\backslash dots,\; x\_n$ nie generuje przestrzeni wektorowej $\backslash mathbb\{V\}.$
Zatem istnieje taki wektor $v,$ który nie jest kombinacją liniową wektorów wspomnianego układu.
Rozważmy przypadek:
: $\backslash varsigma\; v\; +\; \backslash varsigma\_1\; x\_1\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash varsigma\_n\; x\_n=0.$
Gdyby $\backslash varsigma\backslash neq\; 0,$ to $v$ byłby kombinacją liniową pozostałych wektorów, co jest sprzecznością z hipotezą.
Gdyby $\backslash varsigma\; =\; 0,$ to równanie uprościłoby się do postaci
: $\backslash varsigma\_1\; x\_1\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash varsigma\_n\; x\_n=0,$
co z liniowej niezależności wektorów $x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n,$ spowoduje, że $\backslash varsigma\_1\; =\; 0,\; \backslash dots,\; \backslash varsigma\_n\; =\; 0,$ a ponieważ $\backslash varsigma\; =\; 0,$ to układ $v,\; x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n$ byłby liniowo niezależny, co jest sprzeczne z 4.

Definicja ogólna

Baza przestrzeni $\backslash mathbb\{V\}$ to maksymalny, liniowo niezależny, podzbiór wektorów tej przestrzeni, tzn. jeśli nie można do niego dołączyć żadnego wektora przestrzeni $\backslash mathbb\{V\}$ w taki sposób, aby otrzymany zbiór był liniowo niezależny.

Przykłady

* Zbiór pusty jest bazą jednoelementowej przestrzeni {0}.
* Dany jest zbiór $A\; =\; \backslash \{(0,1),\; (1,1),\; (1,0)\backslash \}$ wektorów w przestrzeni euklidesowej $\backslash mathbf\{R\}^2.$ Wektor $(1,1)$ można przedstawić jako:
:: $(1,1)\; =\; 1\backslash cdot(1,0)\; +\; 1\backslash cdot(0,1).$
: Wynika stąd, że $A$ nie jest bazą przestrzeni $\backslash mathbf\{R\}^2.$
: Z drugiej strony, niech $B\; =\; \backslash \{(1,1),\; (1,0)\backslash \}$ i niech $(x,y)$ będzie dowolnym wektorem $\backslash mathbf\{R\}^2.$ Szukając przedstawienia wektora $(x,y)$ jako kombinacji liniowej wektorów zbioru $B,$ mamy:
:: $(x,y)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(1,1)\; +\; \backslash beta\backslash cdot(1,0)\; =\; (\backslash alpha\; +\; \backslash beta,\; \backslash alpha)$ skąd $\backslash alpha\; =\; y$ i $\backslash beta\; =\; x\; –\; y.$
: Zatem przedstawienie wektora $(x,y)$ jako kombinacji liniowej elementów zbioru $B$ jest jednoznaczne, co oznacza, że zbiór $B$ jest bazą przestrzeni $\backslash mathbf\{R\}^2.$
* Niech $c\_\{00\}$ oznacza przestrzeń liniową złożoną ze wszystkich ciągów o wyrazach rzeczywistych, których co najwyżej skończenie wiele wyrazów jest niezerowych. Wówczas zbiór $B\; =\; \backslash \{e\_1,\; e\_2,\; e\_3,\; \backslash dots\backslash \}$ jest bazą przestrzeni $c\_\{00\},$ przy czym $e\_n$ jest wektorem, który na $n$-tej współrzędnej przyjmuje wartość 1 oraz 0 na pozostałych.

Współrzędne wektora w bazie. Funkcjonały stowarzyszone z bazą

Niech $B$ będzie bazą przestrzeni liniowej $V.$ Ponieważ każdy element $v\; \backslash in\; V$ może być przedstawiony jednoznacznie w postaci kombinacji liniowej elementów bazy $B,$
: $v\; =\; f\_1(x\_1)\; x\_1\; +\; \backslash ldots\; +\; f\_n(x\_n)\; x\_n,$
gdzie:
: $f\_1(x\_1),\; \backslash dots,\; f\_n(x\_n)\; \backslash in\; F$ oraz $x\_1,\backslash dots,\; x\_n\; \backslash in\; B,$ więc dla każdego $x\; \backslash in\; B$ odwzorowanie $f\_x\backslash colon\; V\; \backslash to\; F$
: $f\_x(v)$ – współczynnik stojący przy $x$ w zapisie $v$ jako kombinacji liniowej elementów z $B$
jest liniowe (formalnie, $f\_x(v)\; =\; 0,$ gdy $x$ nie pojawia się w zapisie). W szczególności, odwzorowania $f\_x\; (x\; \backslash in\; B)$ są elementami przestrzeni sprzężonej $V^*$ i nazywane są funkcjonałami stowarzyszonymi z bazą $B.$ Funkcjonały te tworzą bazą przestrzeni $V^*$ wtedy i tylko wtedy, gdy $V$ jest skończeniewymiarowa, tj. wtedy i tylko wtedy, gdy $B$ jest zbiorem skończonym.

Przykład

Współrzędnymi wektora $v\; =\; (-3,4)$ w bazie $B\; =\; \backslash \{(1,1),\; (1,0)\backslash \}$ przestrzeni $V\; =\; \backslash mathbf\{R\}^2$ są liczby $f\_\{(1,1)\}(v)\; =\; 4$ oraz $f\_\{(1,0)\}(v)\; =\; -7.$

Ciągłość funkcjonałów stowarzyszonych z bazą w przestrzeniach Banacha

Niech $V$ będzie przestrzenią Banacha oraz niech $B$ będzie jej bazą (Hamela). W przypadku, gdy $V$ jest skończeniewymiarowa, to funkcjonały stowarzyszone z bazą $B$ są ciągłe i tworzą bazę przestrzeni $V^*.$ Gdy $V$ jest nieskończeniewymiarowa, to sytuacja zmienia się diametralnie i zachodzi następujące twierdzenie: co najwyżej skończenie wiele spośród funkcjonałów stowarzyszonych z $B$ jest ciągłych.
: Dowód. Niech $B$ będzie bazą nieskończeniewymiarowej przestrzeni Banacha $V.$ Wówczas zbiór $B\_0\; =\; \backslash \{x\; \backslash cdot\; ||x||^-1:\; x\; \backslash in\; B\backslash \}$ też jest bazą oraz funkcjonały stowarzyszone z bazami $B\_0$ i $B$ różnią się odpowiednio między sobą tylko o stałą – bez straty ogólności można więc założyć, że każdy wektor z $B$ ma normę równą 1. Załóżmy nie wprost, że funkcjonały $f\_\{x\_n\}$ są ciągłe dla pewnego różnowartościowego ciągu $(x\_n)$ z $B.$ Z zupełności przestrzeni $V$ wynika, że suma szeregu
:: $v=\backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; x\_k\; 2^\{-k\}$
: należy do $V.$ Niech $(y\_n)$ będzie ciągiem sum częściowych szeregu $v,$ tj.
:: $y\_n=\backslash sum\_\{k=1\}^n\; x\_k\; 2^\{-k\}\backslash ;\backslash ;(n\backslash in\backslash mathbb\{N\}).$
: Z ciągłości $f\_\{x\_n\}$ wynika, że
:: $f\_\{x\_n\}(v)\; =\; f\_\{x\_n\}(\backslash lim\_\{n\backslash to\; \backslash infty\}\; y\_n)\; =\; \backslash lim\_\{n\backslash to\; \backslash infty\}\; f\_\{x\_n\}(y\_n)\; =\; 2^\{-n\}\backslash ;\backslash ;(n\backslash in\; \backslash mathbb\{N\})$
: co prowadzi do sprzeczności bo $v$ ma tylko skończenie wiele niezerowych współczynników w bazie $V,$ tj. zbiór $\backslash \{f\_x(v)\backslash colon\; x\; \backslash in\; B\backslash \}$ jest skończony. □

Istnienie bazy

Każda przestrzeń liniowa ma bazę. Dowód tego faktu przebiega różnie w zależności od tego, czy w danej przestrzeni istnieje skończony zbiór generujący tę przestrzeń, czy nie. W tym drugim przypadku należy odwołać się do lematu Kuratowskiego-Zorna. Dowód istnienia bazy nie jest konstruktywny, tzn. nie daje żadnego algorytmu na otrzymanie wektorów tworzących bazę.
Każdy zbiór liniowo niezależnych wektorów można uzupełnić tak, by otrzymać bazę przestrzeni (twierdzenie Steinitza). Na odwrót, z każdego zbioru wektorów generującego przestrzeń, można wybrać podzbiór, który jest jej bazą.
Andreas Blass udowodnił w 1984, że powyższe twierdzenie (każda przestrzeń liniowa ma bazę) jest równoważne z aksjomatem wyboru.

Dowód istnienia bazy

Nietrudno zauważyć, że liniowo niezależny zbiór $A$ jest bazą przestrzeni $V$ wtedy i tylko wtedy, gdy dodanie do zbioru $A$ dowolnego nowego elementu powoduje utratę liniowej niezależności. A zatem baza to element maksymalny rodziny
$Z\; =\; \backslash \{A\; \backslash subseteq\; V\; \backslash \; |\; \backslash \; A\; \backslash \; \backslash text\{jest\; liniowo\; niezależny\}\; \backslash \}$
uporządkowanej przez inkluzję. Użyjemy więc Lematu Kuratowskiego-Zorna, aby wykazać istnienie elementu maksymalnego zbioru $Z.$ W tym celu wystarczy stwierdzić, że każdy łańcuch jest w $Z$ ograniczony z góry. Niech więc $L$ będzie łańcuchem w $Z$ i niech $B\; =\; \backslash bigcup\; L.$ Pokażemy, że zbiór $B$ jest liniowo niezależny.
Istotnie, przypuśćmy, że $k\_1\; v\_1\; +\; \backslash ldots\; +\; k\_n\; v\_n\; =\; 0,$ gdzie $v\_1,\; \backslash dots,\; v\_n\; \backslash in\; B.$ Skoro wektory $v\_1,\; \backslash dots,\; v\_n$ należą do łańcucha $L,$ to każdy z nich należy do pewnego składnika. Stąd wynika, że $v\_1\; \backslash in\; A\_1,\; \backslash dots,\; v\_n\; \backslash in\; A\_n$ dla pewnych $A\_1,\; \backslash dots,\; A\_n\; \backslash in\; L.$ Rodzina zbiorów $\backslash \{\; A\_1,\; \backslash dots,\; A\_n\; \backslash \}$ jest skończona i liniowo uporządkowana przez inkluzję, ma więc element największy. To znaczy, że dla pewnego $i$ mamy $v\_1,\; \backslash dots,\; v\_n\; \backslash in\; A\_i,$ a przecież zbiór $A\_i$ jest liniowo niezależny. Stąd kombinacja liniowa $k\_1\; v\_1\; +\; \backslash ldots\; +\; k\_n\; v\_n\; =\; 0$ musi być trywialna i mamy $k\_1\; =\; \backslash ldots\; =\; k\_n\; =\; 0.$
Ponieważ $B$ jest liniowo niezależny, więc $B\; \backslash in\; Z,$ a przy tym oczywiście $B$ zawiera wszystkie elementy $L,$ jest więc ograniczeniem górnym naszego łańcucha w zbiorze $Z.$ Spełnione jest więc założenie Lematu Kuratowskiego-Zorna i musi istnieć element maksymalny.

Wymiar przestrzeni liniowej

H. Löwig jako pierwszy udowodnił, że wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są równoliczne (krótszy dowód został podany przez H.E. Laceya). Fakt ten pozwala określić wymiar przestrzeni liniowej jako moc jej dowolnej bazy. Tak określony wymiar przestrzeni liniowej nazywa się często wymiarem Hamela, w odróżnieniu od innych pojęć wymiaru stosowanych w matematyce.
Przestrzeń, która ma bazę skończoną nazywana jest przestrzenią skończeniewymiarową, w przeciwnym wypadku mówimy o przestrzeni nieskończenie wymiarowej. Nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha mają wymiar Hamela co najmniej continuum

Przestrzenie euklidesowe

Dowolna przestrzeń kartezjańska jest z określenia skończenie wymiarowa. Jej baza złożona z wektorów $(1,0,0,\backslash dots,0),\; (0,1,0,\backslash dots,0),\backslash dots,\; (0,0,0,\backslash dots,1)$ nazywana jest bazą kanoniczną lub standardową. Układ współrzędnych dowolnego wektora $v\; =\; (v\_1,\; v\_2,\; \backslash dots,\; v\_n)$ w bazie kanonicznej pokrywa się z jego współrzędnymi w sensie przestrzeni euklidesowej.

Orientacja bazy

Dwie bazy uporządkowane w rzeczywistej przestrzeni liniowej są nazywane zgodnie zorientowanymi, jeśli macierz przejścia między od jednej bazy do drugiej ma dodatni wyznacznik. Bazy które nie są zgodnie zorientowane, nazywane są bazami o przeciwnej orientacji.