Notacja Diraca

Notacja Diraca

Notacja Diraca, wprowadzona przez Paula Diraca w 1939 roku, to sposób zapisywania stanów kwantowych w mechanice kwantowej. Używa dwóch głównych elementów: ketów i bra.

• Ket: Oznaczany jako $|v\; rangle$, reprezentuje wektor w zespolonej przestrzeni liniowej, interpretowany jako stan kwantowy.
• Bra: Oznaczany jako $langle\; f|$, oznacza funkcjonał liniowy działający na przestrzeni, zwykle przestrzeni Hilberta.

Działanie funkcjonału na wektorze zapisuje się jako $langle\; f|\; v\; rangle$, co odpowiada iloczynowi skalarnemu dwóch stanów zapisanemu w formie $langlephi|psirangle$.

Przestrzeń wektorowa

Wektory w notacji Diraca mogą być reprezentowane w przestrzeni wektorowej. Na przykład, wektor $vec\{A\}$ w trójwymiarowej przestrzeni można zapisać jako kombinację liniową wektorów bazowych:

$vec\{A\}\; =\; A\_1\; vec\{e\}\_1\; +\; A\_2\; vec\{e\}\_2\; +\; A\_3\; vec\{e\}\_3.$

Notacja ket

W notacji Diraca wektory zapisuje się jako $|A\; rangle$, co można zdefiniować jako:

$|A\; rangle\; =\; A\_1|e\_1\; rangle\; +\; A\_2|e\_2\; rangle\; +\; A\_3|e\_3\; rangle.$

Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny dwóch wektorów zapisuje się jako $langle\; A\; |\; B\; rangle$, co prowadzi do postaci:

$langle\; A\; |\; B\; rangle\; =\; A\_1^*\; B\_1\; +\; A\_2^*\; B\_2\; +\; A\_3^*\; B\_3.$

Iloczyn można podzielić na bra i ket, co pozwala na większą elastyczność w jego zastosowaniach.

Bra i kety jako macierze

W przestrzeni wektorowej o skończonej liczbie wymiarów, iloczyn skalarny można zapisać jako mnożenie macierzy:

Zastosowanie w mechanice kwantowej

Notacja Diraca jest kluczowa w mechanice kwantowej, gdzie:

• Stany kwantowe są reprezentowane jako wektory w przestrzeni Hilberta.
• Superpozycje stanów są opisane jako suma wektorów stanów.
• Pomiary są związane z operatorami liniowymi.
• Normalizacja funkcji falowej ustala jej normę na 1.

Oznaczenia w notacji Diraca

• Wektory bazowe: $|nrangle$, gdzie $n=0,1,2,dots$.
• Iloczyn skalarny: $langle\; 0|1rangle\; =\; 0$.
• Operatory oznaczane jako $hat\; A$.

Notacja Diraca jest fundamentalnym narzędziem w algebrze liniowej i mechanice kwantowej, umożliwiającym efektywne opisywanie i analizowanie stanów kwantowych oraz ich interakcji.