Harmoniki sferyczne

Harmoniki sferyczne

Harmoniki sferyczne, znane również jako funkcje sferyczne, są specjalnymi funkcjami zespolonymi dwóch zmiennych rzeczywistych. Definiuje się je jako rozwiązania równania różniczkowego Laplace’a w układzie współrzędnych sferycznych:

$\backslash left[\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sin\; \backslash theta\}\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; \backslash theta\}\backslash left(\; \backslash sin\; \backslash theta\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; \backslash theta\}\; \backslash right)\; +\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sin^2\; \backslash theta\}\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; \backslash phi^2\}\; +\; \backslash lambda\; \backslash right]\; f(\backslash theta,\; \backslash phi)\; =\; 0.$

Wartości parametru $\backslash lambda$ muszą być dyskretne, przy czym $\backslash lambda=l(l+1)$, gdzie $l=0,1,2,\backslash dots$. Funkcje sferyczne można uzyskać poprzez rozdzielenie zmiennych podczas rozwiązania równania Schrödingera dla potencjału sferycznie symetrycznego.

Definicja i oznaczenia

Harmoniki sferyczne oznaczane są symbolami $Y^m\_l(\backslash theta,\; \backslash phi)$, gdzie:

• $l=0,1,2,\backslash dots$ – liczby naturalne
• $m=0,1,\backslash dots,l$ – liczby nie większe niż $l$

Funkcje $Y^m\_l(\backslash theta,\; \backslash phi)$ są ortonormalne, co oznacza, że różne wartości $l$ i $m$ generują różne funkcje.

Własności harmonik sferycznych

Harmoniki sferyczne mają istotne właściwości, w tym ortonormalność:

$\backslash int\backslash limits\_\backslash Omega\; d\backslash Omega\backslash ,\; Y\_l^m(\backslash theta,\; \backslash phi)\; \backslash cdot\; Y\_\{l’\}^\{m’\backslash !*\}\; (\backslash theta,\; \backslash phi)\; =\; \backslash delta\_\{ll’\}\backslash delta^\{mm’\}.$

Oznacza to, że funkcje różniące się przynajmniej jedną z liczb $l$ lub $m$ są ortonormalne na powierzchni sfery.

Harmoniki w mechanice kwantowej

Harmoniki sferyczne pojawiają się w mechanice kwantowej, szczególnie w kontekście równania Schrödingera dla atomu wodoru. Operator Hamiltona w tym przypadku jest zapisany jako:

$\backslash hat\; H\; (\backslash vec\; r,\; t)=\; -\backslash frac\{\backslash hbar^2\}\{2m\}\; \backslash Delta+V(\backslash vec\; r).$

Operator Laplace’a, który jest częścią tego równania, prowadzi do rozwiązania równań, w tym równań własnych operatora momentu pędu, gdzie funkcje własne są harmonikami sferycznymi:

$\backslash hat\; L^2\backslash psi(\backslash theta,\backslash phi)=L^2\; \backslash psi(\backslash theta,\backslash phi).$

Magnetyczna liczba kwantowa

W obecności zewnętrznego pola magnetycznego, poziomy energetyczne stają się zdegenerowane, a każdej parze $l$ oraz $m$ przypisuje się inną wartość energii. Liczba $m$ nazywana jest magnetyczną liczbą kwantową i wpływa na dyskretność poziomów energetycznych w polu.