Stała Erdősa-Borweina

Stała Erdősa-Borweina

Stała Erdősa-Borweina, oznaczana jako $E\_B$, jest sumą szeregu odwrotności liczb Mersenne’a. Została nazwana na cześć matematyków Paula Erdősa i Petera Borweina.

Definicja

Stała ta definiowana jest jako:

$E\_B=\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac\{1\}\{2^n-1\}\; \backslash approx\; 1\{,\}60669\backslash \; 51524\backslash \; 15291\backslash \; 763\backslash dots$

Równoważne definicje

Istnieje kilka równoważnych formuł, które opisują stałą $E\_B$:

• $E\_B=\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac\{1\}\{2^\{n^2\}\}\backslash frac\{2^n+1\}\{2^n-1\}$
• $E\_B=\backslash sum\_\{m=1\}^\backslash infty\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{2^\{mn\}\}$
• $E\_B=1+\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{2^n(2^n-1)\}$
• $E\_B=\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac\{\backslash sigma\_0(n)\}\{2^n\}$, gdzie $\backslash sigma\_0(n)=d(n)$ to liczba dodatnich podzielników liczby n.

Aby udowodnić równoważność tych sum, można je przedstawić w postaci szeregu Lamberta.

Własności

W 1948 roku Paul Erdős udowodnił, że liczba $E\_B$ jest niewymierna.