Gra sprawiedliwa

Gra sprawiedliwa

Gra sprawiedliwa to taka, w której wartość oczekiwana wypłat dla wszystkich graczy jest równa. Oznacza to, że każdy uczestnik ma takie same szanse na wygraną, co w praktyce przekłada się na równowagę w grze.

Przykład gry sprawiedliwej

Rozważmy sytuację dwóch graczy, A i B, którzy zakładają się o wynik rzutu uczciwie wyważoną monetą:

• Jeśli wypadnie orzeł, gracz A otrzymuje od gracza B 2 złote.
• Jeśli wypadnie reszka, gracz A musi zapłacić B 2 złote.

Prawdopodobieństwo obu wyników wynosi ½. Obliczając wartość oczekiwaną wypłat dla gracza A, mamy:

$X\_O^A\; =\; 2\; \backslash quad\; X\_R^A\; =\; -2$

$EX^A\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; X\_i^A\; \backslash cdot\; P(X\_i)\; =\; 2\; \backslash cdot\; \backslash tfrac12\; +\; (-2)\; \backslash cdot\; \backslash tfrac12\; =\; 0$

Dzięki temu, wartość oczekiwana dla obu graczy jest równa:

$EX^A\; =\; EX^B$

Gra o sumie zerowej a sprawiedliwość

Warto zauważyć, że gra o sumie zerowej, w której wygrana jednego gracza jest stratą drugiego, nie musi być sprawiedliwa. Przykładem takiej gry są gry w kasynie, gdzie:

• Wygrana gracza to strata kasyna i odwrotnie.
• Prawdopodobieństwa wygranej są niekorzystne dla gracza.
• Wartość oczekiwana wygranej jest ujemna dla gracza.

Podsumowując, choć gra o sumie zerowej może być sprawiedliwa, nie zawsze tak jest. Równocześnie, gra sprawiedliwa nie musi być grą o sumie zerowej.