Hipoteza Goldbacha
Hipoteza Goldbacha to problem z teorii liczb, który głosi, że każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych. Po ponad 250 latach pozostaje nierozstrzygnięta i znajduje się na liście problemów Hilberta.
Sformułowanie problemu
W 1742 roku Christian Goldbach w liście do Leonharda Eulera zaproponował hipotezę, iż każda nieparzysta liczba naturalna większa niż 5 może być przedstawiona jako suma trzech liczb pierwszych. Euler uprościł to sformułowanie do stwierdzenia, że każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych. Ta wersja hipotezy jest obecnie znana jako hipoteza Goldbacha.
Próby rozwiązania
Komputery pomogły udowodnić, że hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla liczb naturalnych mniejszych niż 4·1017. Większość matematyków wierzy w jej prawdziwość, ponieważ liczby parzyste wydają się łatwiejsze do przedstawienia jako suma dwóch liczb pierwszych.
Pomimo licznych prób i nagród za dowód hipotezy, pozostaje ona nierozstrzygnięta. Udowodniono jedynie, że każda parzysta liczba naturalna większa niż 2 może być przedstawiona jako suma co najwyżej sześciu liczb pierwszych oraz jako suma liczby pierwszej i liczby z maksymalnie dwoma czynnikami pierwszymi (Chen, 1966). Zbadano również, że zbiór liczb parzystych, które nie spełniają hipotezy Goldbacha, ma gęstość 0.
Słaba hipoteza Goldbacha stwierdza, że każda liczba nieparzysta większa od 7 może być wyrażona jako suma trzech nieparzystych liczb pierwszych. Jest to prawdziwe dla liczb nieparzystych większych od około 101346. W 2012 roku H. A. Helfgott ogłosił dowód tej hipotezy dla liczb nieparzystych mniejszych od 1030 oraz dla liczb większych od tej granicy.
Podsumowanie
- Hipoteza Goldbacha dotyczy sumy dwóch liczb pierwszych dla liczb parzystych.
- Do tej pory potwierdzono prawdziwość hipotezy dla dużych zbiorów liczb.
- Słaba hipoteza Goldbacha dotyczy sumy trzech nieparzystych liczb pierwszych.
