Pochodna funkcji

Pochodna funkcji

Pochodna funkcji to miara szybkości zmian wartości funkcji względem zmian jej argumentów. Formalnie, jest to granica ilorazu różnicowego w momencie gdy zmiana argumentu dąży do zera. Pochodna jest kluczowa w analizie matematycznej i znajduje zastosowanie w różnych dziedzinach, takich jak fizyka czy ekonomia.

Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej

Dla funkcji $y\; =\; f(x)$ określonej w otoczeniu punktu $x\_0$, pochodną w tym punkcie definiuje się jako:

$\backslash lim\_\{\backslash Delta\; x\; \backslash to\; 0\}\backslash frac\{f(x\_0\; +\; \backslash Delta\; x)\; –\; f(x\_0)\}\{\backslash Delta\; x\}.$

Symbolicznie można to zapisać jako $f\text{'}(x\_0)$.

Własności funkcji pochodnej

• Pochodna iloczynu: $(fg)\text{'}(x)\; =\; f\text{'}(x)g(x)\; +\; f(x)g\text{'}(x)$
• Pochodna złożenia: $f\text{'}(x)\; =\; h\text{'}(g(x))g\text{'}(x)$
• Pochodna odwrotności: $(\backslash frac\{1\}\{g(x)\})’\; =\; \backslash frac\{-g\text{'}(x)\}\{g^2(x)\}$
• Pochodna ilorazu: $(\backslash frac\{f(x)\}\{g(x)\})’\; =\; \backslash frac\{f\text{'}(x)g(x)\; –\; f(x)g\text{'}(x)\}\{g^2(x)\}$

Pochodne funkcji elementarnych

W przypadku funkcji elementarnych, ich pochodne są następujące:

• Stała: $(a)’\; =\; 0$
• Potęgowa: $(x^n)’\; =\; nx^\{n-1\}$
• Wykładnicza: $(e^x)’\; =\; e^x$
• Logarytmiczna: $(\backslash ln\; x)’\; =\; \backslash frac\{1\}\{x\}$
• Trygonometryczna: $(\backslash sin\; x)’\; =\; \backslash cos\; x$, $(\backslash cos\; x)’\; =\; -\backslash sin\; x$

Pochodne wyższego rzędu

Pochodne wyższego rzędu są definiowane rekurencyjnie. Pierwsza pochodna $f’$ jest różniczkowalna, a druga pochodna $f”$ to pochodna $f’$.

Zastosowania w fizyce

Pochodne mają zastosowanie w fizyce, np. do obliczania prędkości chwilowej:

$v\; =\; \backslash lim\_\{\backslash Delta\; t\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{\backslash Delta\; s\}\{\backslash Delta\; t\}\; =\; f\text{'}(t).$

Natężenie prądu elektrycznego również można opisać pochodnymi:

$I\; =\; \backslash frac\{dQ\}\{dt\}(t).$

Geometryczny sens pochodnej

Pochodna w danym punkcie interpretowana jest jako współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie. Jest to granica współczynnika kierunkowego siecznych przechodzących przez punkty na wykresie.

Badanie zmienności funkcji

Pochodna funkcji dostarcza informacji o jej monotoniczności oraz o punktach ekstremalnych. Jeśli pochodna jest dodatnia, funkcja rośnie; jeśli ujemna, funkcja maleje.

Uogólnienia

W teorii funkcji wielu zmiennych istnieją różne uogólnienia pojęcia pochodnej, takie jak pochodna Frécheta czy Gâteaux, które są stosowane w kontekście przestrzeni unormowanych.

Przegląd notacji

W matematyce używa się różnych notacji do zapisu pochodnych, takich jak notacja Newtona, Leibniza, Eulera oraz Lagrange’a, w zależności od kontekstu oraz typu funkcji.