Zwrot wektora

Zwrot wektora

Zwrot wektora to jedna z kluczowych właściwości wektora, obok jego kierunku, długości i punktu zaczepienia (dla wektorów zaczepionych). Zwrot wektora odnosi się do kierunku, w którym jest on skierowany. Dwa wektory mają zgodny zwrot, gdy wskazują w tę samą stronę, natomiast zwroty przeciwnych wektorów są skierowane w przeciwne kierunki. W przypadku wektorów o różnych kierunkach lub wektora zerowego porównanie zwrotów nie jest możliwe.

Definicje formalne

Relację zgodności zwrotów definiuje się w zbiorze niezerowych wektorów:

• Dla wektorów zaczepionych: Dwa niezerowe wektory zaczepione są w relacji, gdy po przesunięciu ich początki pokrywają się, a końce leżą na tej samej półprostej.
• Dla wektorów swobodnych: Dwa wektory $\backslash mathbf\{v\},\; \backslash mathbf\{w\}$ mają ten sam zwrot, gdy $\backslash mathbf\{v\}\; =\; k\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{w\}$ dla pewnego $k\; >\; 0$.

Relacja ta jest równoważnością. Zwrot wektora zaczepionego jest reprezentowany przez klasę abstrakcji, a zwrot wektora swobodnego przez jego zaczepiony odpowiednik. Wektory w tej samej klasie mają zgodne zwroty, a te w różnych klasach – przeciwne zwroty.

Związek z kątem między wektorami

Dla dwóch niezerowych wektorów o tym samym kierunku (równoległych) obowiązują następujące zasady:

• Mają zgodne zwroty, gdy kąt między nimi wynosi 0°.
• Mają przeciwne zwroty, gdy kąt wynosi 180°.

Związek z iloczynem skalarnym

Dla niezerowych wektorów o tym samym kierunku:

• Zgodne zwroty mają, gdy iloczyn skalarny jest dodatni.
• Przeciwne zwroty mają, gdy iloczyn skalarny jest ujemny.

Relację zgodności zwrotu można również zdefiniować dla dowolnych wektorów swobodnych jako zgodne, gdy ich iloczyn skalarny odpowiada iloczynowi ich długości.

Przykłady zastosowań

• W fizyce:
  • Zwrot wektora prędkości ciała poruszającego się z punktu A do B jest zgodny ze zwrotem wektora przemieszczenia $\backslash overrightarrow\{AB\}$.
  • Zwrot wektora siły grawitacyjnej działającej na ciało A jest zgodny ze zwrotem wektora $\backslash overrightarrow\{AB\}$, a dla ciała B – z wektorem $\backslash overrightarrow\{BA\}$.
• W matematyce:
  • Wektor wskazujący kierunek najszybszego wzrostu wartości skalarnej w danym punkcie tworzy pole wektorowe zwane gradientem.