Zmienna losowa

Definicja zmiennej losowej

Zmienna losowa to funkcja przypisująca liczby zdarzeniom elementarnym w przestrzeni probabilistycznej. Przenosi ona badania prawdopodobieństwa z trudnej przestrzeni probabilistycznej do bardziej intuicyjnej przestrzeni euklidesowej. Zmienne losowe można opisać jako funkcje mierzalne.

Przykładem zmiennej losowej mogą być cechy osobników, takie jak waga czy wzrost. Inne przykłady to wyniki rzutu monetą (gdzie orłowi przypisuje się 0, a reszcie 1) oraz wynik rzutu kostką (gdzie każdej ściance przypisuje się liczbę oczek). Zmienne losowe mogą również opisywać stany techniczne urządzeń czy oceny uczniów w skali od 1 do 6.

Formalna definicja

Zmienną losową (rzeczywistą) na przestrzeni probabilistycznej $(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\; F,\; P)$ definiujemy jako mierzalną funkcję $\backslash xi\backslash colon\; \backslash Omega\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$, która spełnia warunek: $\backslash xi^\{-1\}(B)\backslash in\; \backslash mathcal\{F\}$ dla każdego zbioru borelowskiego $B\backslash subseteq\; \backslash mathbb\{R\}$. Zmienne losowe oznaczane są zazwyczaj wielkimi literami, takimi jak $X,\; Y,\; Z$ lub literami greckimi, np. $\backslash xi,\; \backslash eta$.

Uogólnienia

Istnieją również zmienne losowe przyjmujące wartości w abstrakcyjnych przestrzeniach topologicznych. Przykładem są zmienne losowe zespolone. Odwzorowanie mierzalne w przestrzeni $\backslash Omega$ o wartościach w $\backslash mathbb\{R\}^n$ nazywane jest wektorem losowym, który ma postać $X(\backslash omega)\; =\; (X\_1(\backslash omega),\; X\_2(\backslash omega),\; \backslash dots,\; X\_n(\backslash omega))$, gdzie $X\_i$ są zmiennymi losowymi rzeczywistymi. Zmienne losowe o wartościach w przestrzeniach polskich są często rozważane ze względu na ich korzystne właściwości.

Przykłady zmiennych losowych

• Rzut dwiema kostkami: Zbiór wszystkich możliwych wyników to 36 wyników. Przykładowe zmienne losowe to: suma oczek, iloczyn oczek, liczba oczek na pierwszej kostce.
• Funkcja ciągła na przedziale $\backslash Omega\; =\; [0,\; 1]$: Każda taka funkcja jest zmienną losową w kontekście σ-ciała zbiorów borelowskich oraz miary Lebesgue’a.