Zdarzenia losowe rozłączne

Zdarzenia losowe rozłączne

Zdarzenia losowe rozłączne, znane również jako wykluczające się, to dwa zdarzenia losowe $A$ i $B$, które nie mają wspólnych elementów. Formalnie, oznaczamy to jako $A\backslash cap\; B=\backslash emptyset$.

Przykład

Rozważmy przestrzeń zdarzeń elementarnych, która obejmuje wyniki rzutu kostką: $\backslash Omega=\backslash \{1,2,3,4,5,6\backslash \}$. W tym przypadku:

• $A$ – wypadła parzysta liczba oczek,
• $B$ – wypadła nieparzysta liczba oczek.

Zdarzenia $A$ i $B$ są rozłączne, ponieważ nie mogą wystąpić jednocześnie.

Uogólnienie

W przypadku większej liczby zdarzeń możemy mówić o zdarzeniach „parami rozłącznych” lub „parami wykluczających się”. Rodzina zdarzeń $(A\_i)$ jest parami rozłączna, jeśli dla dowolnych dwóch różnych zdarzeń $A\_i$ i $A\_j$ zachodzi równość:

$i\backslash ne\; j\backslash Rightarrow\; A\_i\backslash cap\; A\_j=\backslash emptyset.$

Jeżeli dodatkowo spełniony jest warunek $\backslash bigcup\; A\_i=\backslash Omega$, to rodzina ta nazywana jest podziałem przestrzeni zdarzeń elementarnych. Przykładem jest rodzina $\backslash \{A,A’\backslash \}$ dla dowolnego zdarzenia losowego $A$.

Własności

W kontekście przestrzeni probabilistycznej $(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\{F\},\; P)$, dla dwóch zdarzeń rozłącznych zachodzi następujący wzór:

$P(A\backslash cup\; B)=P(A)+P(B).$

Jeśli rodzina zdarzeń $(A\_i)$ jest przeliczalna i zdarzenia są parami rozłączne, to można zastosować wzór:

$P\backslash left(\; \backslash bigcup\; A\_i\backslash right)\; =\backslash sum\; P(A\_i).$