Zbiór Vitalego

Zbiór Vitalego – podzbiór zbioru liczb rzeczywistych, który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue’a. Konstrukcję zbioru (wymagającą założenia aksjomatu wyboru) podał Giuseppe Vitali w 1905 i pokazał, że nie istnieje dla tego zbioru miara Lebesgue’a – miara, która jest niezmiennicza na przesunięcia, przyjmująca niezerowe i skończone wartości na przedziałach $[a,b]$ i określona na rodzinie wszystkich podzbiorów prostej rzeczywistej.

Konstrukcja

Niech $\backslash lambda$ oznacza miarę Lebesgue’a w zbiorze liczb rzeczywistych. W przedziale [0,1] można określić relację $\backslash sim$ w następujący sposób:
: $x\; \backslash sim\; y$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x\; –\; y$ jest liczbą wymierną.
Relacja ~ jest relacją równoważności. Klasy abstrakcji tej relacji są rozłącznymi podzbiorami [0,1]. Aksjomat wyboru gwarantuje istnienie zbioru $V,$ który ma dokładnie jeden element wspólny z każdą klasą abstrakcji. Każdy zbiór o takiej własności nazywany jest zbiorem Vitalego.
Jeśli $V$ jest zbiorem Vitalego, to:
* różnica dowolnych dwóch różnych elementów tego zbioru jest liczbą niewymierną, skąd
* $(V+q)\backslash cap\; (V+q’)=\backslash varnothing$ dla każdych dwóch różnych liczb wymiernych $q,\backslash ,q’.$
Oznacza to, że rodzina
: $\backslash mathcal\{V\}=\backslash \{V+q\backslash colon\; q\backslash in\; [-1,1]\backslash cap\; \backslash mathbb\{Q\}\backslash \}$
jest przeliczalna i składa się ze zbiorów parami rozłącznych. Gdyby $V$ był zbiorem mierzalnym, to każdy ze zbiorów postaci $V+q$ byłby zbiorem mierzalnym oraz zbiory te byłyby tej samej miary (miara Lebesgue’a jest niezmiennicza na przesunięcia). Oznaczałoby to, że $\backslash bigcup\; \backslash mathcal\{V\}$ jest zbiorem mierzalnym oraz
: $1\backslash leqslant\; \backslash lambda\backslash Big(\backslash bigcup\; \backslash mathcal\{V\}\backslash Big)\backslash leqslant\; 3$
ponieważ
: $[0,1]\backslash subseteq\; \backslash bigcup\; \backslash mathcal\{V\}\; \backslash subseteq\; [-1,2].$
$V$ nie może być więc miary zero, bo wówczas
: $\backslash lambda\backslash Big(\backslash bigcup\; \backslash mathcal\{V\}\backslash Big)=0,$
$V$ nie może być również zbiorem miary dodatniej, bo wówczas
: $\backslash lambda\backslash Big(\backslash bigcup\; \backslash mathcal\{V\}\backslash Big)=\backslash infty,$
co w sumie prowadzi do sprzeczności.
Argument przedstawiony powyżej wykazuje, że jeśli przyjmiemy aksjomat wyboru, to na prostej istnieją zbiory niemierzalne w sensie Lebesgue’a, niemniej jednak zbiory takie w żadnym sensie nie są konstruowalne. Czasami używa się jednak zwrotu „konstrukcja zbioru Vitalego” w znaczeniu „definicja takich zbiorów”.