Zbiór typu G-delta

Definicja

Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywamy zbiorem typu $G\_\backslash delta$, jeśli jest to przekrój przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych. W nowoczesnej terminologii zbiory te są klasyfikowane jako zbiory klasy $\backslash Pi\_2^0.$

Własności

Z definicji wynika, że przecięcie przeliczalnie wielu zbiorów typu $G\_\backslash delta$ również jest zbiorem tego typu. Ponadto suma skończonej liczby zbiorów $G\_\backslash delta$ także należy do tej klasy. Dopełnienie zbioru $G\_\backslash delta$ jest zbiorem F_σ, i vice versa. Każdy zbiór otwarty jest zbiorem typu $G\_\backslash delta$, a w przestrzeniach metryzowalnych również zbiory domknięte są tego typu.

Przykłady

• Zbiór liczb niewymiernych jest zbiorem typu $G\_\backslash delta$, ponieważ można go zapisać jako przekrój: $\backslash bigcap\_\{q\backslash in\backslash mathbb\{Q\}\}\backslash mathbb\{R\}\backslash setminus\backslash \{q\backslash \}.$
• Zbiór liczb wymiernych nie jest zbiorem typu $G\_\backslash delta$, co wynika z twierdzenia Baire’a.
• Zbiór punktów ciągłości dowolnej funkcji $f\backslash colon\; \backslash mathbb\{R\}\backslash to\backslash mathbb\{R\}$ jest zbiorem typu $G\_\backslash delta$.

Przykłady te pokazują, że nie może istnieć funkcja ciągła w każdym punkcie wymiernym. Można jednak skonstruować funkcję, której zbiorem punktów ciągłości są liczby niewymierne.