Zbiór typu F-sigma

Zbiory typu F_σ

W przestrzeni topologicznej, zbiór nazywamy zbiorem typu F_σ, gdy jest sumą przeliczalnej rodziny zbiorów domkniętych. Zbiory domknięte zawsze są typu F_σ. W przestrzeniach metryzowalnych każdy zbiór otwarty także należy do tej klasy, a w przestrzeniach doskonale normalnych zbiory otwarte są zawsze typu F_σ.

Dopełnienie zbioru typu F_σ określamy jako zbiór typu G_δ. Suma przeliczalnej rodziny zbiorów typu F_σ oraz przekrój skończonej rodziny takich zbiorów również są zbiorami typu F_σ.

Nazwa „zbiór typu F_σ” wynika z oznaczenia zbiorów domkniętych literą F oraz indeksu σ reprezentującego operację sumy przeliczalnej. Przeliczalne przekroje zbiorów typu F_σ nazywane są zbiorami typu F_σδ, a ich dalsze przeliczalne sumy klasyfikowane są jako F_σδσ. W kontekście przestrzeni liczb rzeczywistych ℝ, te klasy zbiorów borelowskich stają się coraz szersze.

Alternatywnym oznaczeniem dla zbiorów typu F_σ jest $\backslash mathbf\backslash Sigma^0\_2.$

Przykłady

• Zbiór liczb wymiernych jest typu F_σ.
• Zbiór liczb niewymiernych nie jest typu F_σ, gdyż tworzy gęsty zbiór typu G_δ. Gdyby liczby niewymierne były typu F_σ, to zbiór liczb wymiernych musiałby być gęstym zbiorem typu G_σ, co prowadziłoby do sprzeczności z twierdzeniem Baire’a.

Wnioskując, zbiory typu F_σ odgrywają istotną rolę w teorii topologii, a ich właściwości są kluczowe dla zrozumienia struktury zbiorów w przestrzeniach topologicznych.