Zbiór ograniczony

Zbiór ograniczony

Termin „zbiór ograniczony” odnosi się do zbiorów, które mają skończone granice. Definicja tego pojęcia zmienia się w zależności od kontekstu. Na przykład, na prostej rzeczywistej ograniczone są przedziały liczbowe, które są określone przez liczby skończone, takie jak:

• $\backslash langle\; -10,\; 3),$
• $(\; -10,\; 3\backslash rangle$
• $\backslash langle\; -10,\; 3\backslash rangle.$

Zbiory nieograniczone to np. $(-\backslash infty,\; 3\backslash rangle,$ $\backslash langle\; -10,+\backslash infty)$ oraz cała prosta.

Porządki częściowe

Dla zbioru częściowo uporządkowanego $(X,\backslash sqsubseteq)$ oraz podzbioru $A\backslash subseteq\; X$, element $s$ może być:

• ograniczeniem górnym, jeśli $(\backslash forall\; a\backslash in\; A)(a\backslash sqsubseteq\; s),$
• ograniczeniem dolnym, jeśli $(\backslash forall\; a\backslash in\; A)(s\backslash sqsubseteq\; a).$

Każdy element zbioru $X$ jest zarówno ograniczeniem dolnym, jak i górnym dla zbioru pustego. Zbiór $A$ jest ograniczony z góry, gdy istnieje dla niego ograniczenie górne, a z dołu, gdy istnieje ograniczenie dolne. Zbiory ograniczone mają obydwa rodzaje ograniczeń.

Przestrzenie metryczne

W przestrzeni metrycznej $(X,\; d)$ podzbiór $A$ jest nazywany zbiorem ograniczonym, jeśli mieści się w pewnej kuli. Można to również określić jako:

Przestrzenie liniowo-topologiczne

Dla przestrzeni liniowo-topologicznej $X$ zbiór $A\backslash subseteq\; X$ jest ograniczony, gdy dla każdego otoczenia zera $U\backslash subseteq\; X$ istnieje $\backslash alpha\backslash in\; (0,\backslash infty),$ takie, że $A\backslash subseteq\; \backslash alpha\; U=\backslash \{\backslash alpha\; u\backslash colon\; u\backslash in\; U\backslash \}.$ Ta definicja jest równoważna definicji zbioru ograniczonego w przestrzeniach metrycznych, jeśli $X$ jest jednocześnie przestrzenią metryczną.