Zbiór

Zbiór i Teoria Mnogości

Zbiór, dawniej określany jako mnogość, jest podstawowym pojęciem aksjomatycznej teorii mnogości, kluczowej dla matematyki. Zbiór to idealizacja zestawu elementów, z których każdy może należeć do zbioru tylko raz. Istnieje tylko jeden zbiór dla danej zawartości, co oznacza, że kolejność elementów i ich wielokrotne wymienienie nie mają znaczenia.

Definicje i Notacje

Elementy zbioru zapisuje się w nawiasach klamrowych. Przykład zbioru czterech elementów to: $\backslash \{\backslash bigstar,\; 3,\; \backslash spadesuit,\; \backslash P\backslash \}$. Zbiór pusty, czyli zbiór nie zawierający żadnych elementów, oznaczany jest jako $\backslash varnothing$. Zbiory mogą również zawierać inne zbiory, co nazywamy rodzinami zbiorów.

Określanie Zbiorów

W przypadku zbiorów nieskończonych lub dużych, ich elementy opisuje się często za pomocą notacji wielokropkowej. Można także stosować formuły logiczne do określenia zbiorów, co zostało wprowadzone w odpowiedzi na sprzeczności w naiwnych teoriach mnogości.

Relacje między Zbiorami

Dwa zbiory $A$ i $B$ mogą:

• być rozłączne, jeśli nie mają wspólnych elementów;
• przecinać się, czyli mieć część wspólną;
• być w relacji inkluzji, jeśli $B\; \backslash subseteq\; A$;
• być równe, jeśli mają te same elementy.

Aksjomat ekstensjonalności definiuje równość zbiorów na podstawie ich elementów.

Działania na Zbiorach

Działania na zbiorach obejmują:

• Sumę $A\; \backslash cup\; B$, czyli zbiór elementów, które należą do przynajmniej jednego ze zbiorów;
• Iloczyn $A\; \backslash cap\; B$, zbiór elementów wspólnych;
• Różnicę $A\; \backslash setminus\; B$, czyli elementy z $A$, które nie należą do $B$;
• Dopełnienie $B^\backslash mathrm\; c$, zbiór elementów, które nie należą do $B$;
• Różnicę symetryczną $A\; \backslash triangle\; B$, zbiór elementów, które należą tylko do jednego z zbiorów.

Własności tych działań obejmują łączność, przemienność, oraz różne prawa De Morgana.

Uogólnienia Pojęcia Zbioru

Oprócz klasycznego pojęcia zbioru, istnieją różne uogólnienia, takie jak:

• klasa – skupisko elementów o wspólnej właściwości;
• multizbiór – zestaw, w którym elementy mogą się powtarzać;
• n-tka – uporządkowany multizbiór;
• zbiór rozmyty – zbiór z przynależnością wyrażoną procentowo.

Teoria zbiorów jest fundamentem wielu dziedzin matematyki, a jej zrozumienie jest kluczowe dla dalszych badań i aplikacji.