Wzory Viète’a

Wzory Viète’a

Wzory Viète’a to relacje łączące pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami. Zostały opracowane przez francuskiego matematyka François Viète’a w 1591 roku. Dla wielomianu postaci $a\_n\; x^n\; +\; a\_\{n-1\}\; x^\{n-1\}\; +\; \backslash ldots\; +\; a\_1\; x\; +\; a\_0,\backslash ;\; a\_n\; \backslash neq\; 0$ z pierwiastkami $x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_n$, wzory te wyrażają się następująco:

• $x\_1\; +\; x\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; x\_n\; =\; -\backslash frac\{a\_\{n-1\}\}\{a\_n\}$
• $x\_1\; x\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; x\_\{n-1\}\; x\_n\; =\; \backslash frac\{a\_\{n-2\}\}\{a\_n\}$
• $x\_1\; x\_2\; \backslash dots\; x\_n\; =\; (-1)^n\; \backslash frac\{a\_0\}\{a\_n\}$

Wzory te są również prawdziwe w dowolnym pierścieniu przemiennym, o ile wielomian ma $n$ pierwiastków.

Przykłady zastosowania

Wielomian liniowy

Dla wielomianu liniowego $ax\; +\; b,\backslash ;\; a\; \backslash neq\; 0$, wzory Viète’a przyjmują formę:

• $x\_1\; =\; -\backslash frac\{b\}\{a\}$

Trójmian kwadratowy

W przypadku trójmianu kwadratowego $ax^2\; +\; bx\; +\; c,\backslash ;\; a\; \backslash neq\; 0$, wzory dotyczące pierwiastków są następujące:

• $x\_1\; +\; x\_2\; =\; -\backslash frac\{b\}\{a\}$
• $x\_1\; x\_2\; =\; \backslash frac\{c\}\{a\}$

Wzory te są ważne także, gdy wyróżnik , co oznacza, że pierwiastki są zespolone.

Wielomian stopnia trzeciego

Dla wielomianu trzeciego stopnia $ax^3\; +\; bx^2\; +\; cx\; +\; d,\backslash ;\; a\; \backslash neq\; 0$, wzory Viète’a mają postać:

• $x\_1\; +\; x\_2\; +\; x\_3\; =\; -\backslash frac\{b\}\{a\}$
• $x\_1\; x\_2\; +\; x\_1\; x\_3\; +\; x\_2\; x\_3\; =\; \backslash frac\{c\}\{a\}$
• $x\_1\; x\_2\; x\_3\; =\; -\backslash frac\{d\}\{a\}$

Dowód wzorów Viète’a

Dowód dla funkcji kwadratowej oparty jest na równaniu:

$a(x\; –\; x\_1)(x\; –\; x\_2)\; =\; ax^2\; +\; bx\; +\; c$

Porównując współczynniki, uzyskujemy wzory Viète’a. W przypadku ogólnym, stosując podobną metodę, możemy udowodnić te same relacje dla wielomianów wyższych stopni.

Podsumowanie

Wzory Viète’a stanowią podstawowe narzędzie w analizie wielomianów, łącząc pierwiastki z ich współczynnikami. Ich uniwersalność w różnych kontekstach matematycznych czyni je kluczowym elementem w teorii wielomianów.