Wzór Wallisa

Wzór Wallisa

Wzór Wallisa to nieskończony iloczyn, który przedstawia liczbę π, opracowany przez Johna Wallisa w 1655 roku. Jest to jedno z pierwszych przedstawień liczby π w postaci granicy ciągu liczb wymiernych, chociaż współczesne metody obliczeń oferują szybsze zbieganie do wartości π. Wzór ma postać:

$\backslash prod\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(2n)(2n)\}\{(2n-1)(2n+1)\}\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}.$

Wyprowadzenie wzoru

Pierwiastki funkcji $\backslash tfrac\{\backslash sin\; x\}\{x\}$ mają postać $k\backslash pi$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą. Funkcję tę można przedstawić jako nieskończony iloczyn czynników dwumiennych:

$\backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}\; =\; k\; \backslash left(1\; –\; \backslash frac\{x\}\{\backslash pi\}\backslash right)\backslash left(1\; +\; \backslash frac\{x\}\{\backslash pi\}\backslash right)\backslash left(1\; –\; \backslash frac\{x\}\{2\backslash pi\}\backslash right)\backslash left(1\; +\; \backslash frac\{x\}\{2\backslash pi\}\backslash right)\; \backslash dots.$

Znajdując granicę $k$, zauważamy, że:

$\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}\; =\; 1,$ co prowadzi do $k=1.$

Stąd uzyskujemy wzór Eulera-Wallisa:

$\backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}\; =\; \backslash left(1\; –\; \backslash frac\{x^2\}\{\backslash pi^2\}\backslash right)\backslash left(1\; –\; \backslash frac\{x^2\}\{4\backslash pi^2\}\backslash right)\backslash left(1\; –\; \backslash frac\{x^2\}\{9\backslash pi^2\}\backslash right)\; \backslash dots.$

Podstawiając $x=\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$, otrzymujemy:

$\backslash frac\{1\}\{\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\}\; =\; \backslash frac\{2\}\{\backslash pi\}\; =\; \backslash prod\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash left(1\; –\; \backslash frac\{1\}\{4n^2\}\backslash right).$

Ostatecznie:

$\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; =\; \backslash prod\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(2n)(2n)\}\{(2n-1)(2n+1)\}.$

Przypisy

Wzór Wallisa stanowi ważny krok w zrozumieniu liczby π, mimo że współczesne metody oferują bardziej efektywne podejścia do jej obliczeń.

Bibliografia

• Grant Sanderson, [https://www.youtube.com/watch?v=8GPy_UMV-08 The Wallis product for pi, proved geometrically], kanał 3blue1brown na YouTube, 20 kwietnia 2018.

Linki zewnętrzne

• Link do filmu na YouTube.