Wzór Eulera

Wzór Eulera

Wzór Eulera, nazwany na cześć Leonharda Eulera, łączy funkcje trygonometryczne z funkcją wykładniczą w analizie zespolonej. Jego postać to:

$e^\{ix\}\; =\; \backslash cos\; x\; +\; i\backslash sin\; x.$

Historia

Wzór Eulera został po raz pierwszy dowiedziony przez Rogera Cotesa w 1714 roku. Euler opublikował go w formie standardowej w 1748 roku, opierając się na równości szeregów. Interpretacja geometryczna liczb zespolonych została rozwinięta około 50 lat później przez Caspara Wessela.

Dowód

Funkcje $e^x,\; \backslash sin\; x,\; \backslash cos\; x$ można rozwinąć w szereg potęgowy:

• $e^x\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{x^n\}\{n!\}$
• $\backslash sin\; x\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(-1)^n\; x^\{2n+1\}\}\{(2n+1)!\}$
• $\backslash cos\; x\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(-1)^n\; x^\{2n\}\}\{(2n)!\}$

Definicje te są poprawne dla wszystkich $z\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}$. Używając tych szeregów, można udowodnić, że:

$e^\{iz\}\; =\; \backslash cos\; z\; +\; i\backslash sin\; z.$

Trygonometria

Wzór Eulera łączy analizę z trygonometrią. Można z niego wyprowadzić wzory na funkcje trygonometryczne:

• $\backslash cos\; x\; =\; \backslash frac\{e^\{ix\}\; +\; e^\{-ix\}\}\{2\}$
• $\backslash sin\; x\; =\; \backslash frac\{e^\{ix\}\; –\; e^\{-ix\}\}\{2i\}$

Te wzory mogą być używane jako definicje funkcji trygonometrycznych dla argumentów zespolonych.

Zastosowanie

Tożsamość Eulera służy do upraszczania wyrażeń trygonometrycznych. Wymaga jedynie znajomości podstawowych wzorów:

• $\backslash sin\; x\; =\; \backslash frac\{e^\{ix\}\; –\; e^\{-ix\}\}\{2i\}$
• $\backslash cos\; x\; =\; \backslash frac\{e^\{ix\}\; +\; e^\{-ix\}\}\{2\}$
• $e^\{ix\}\; =\; \backslash cos\; x\; +\; i\backslash sin\; x$

Można ją również wykorzystać w rachunkach całkowych oraz przy obliczaniu szeregów Fouriera.

Tożsamość Eulera

Tożsamość Eulera, zapisana jako $e^\{\backslash pi\; i\}\; +\; 1\; =\; 0$, łączy pięć fundamentalnych stałych matematycznych: 0, 1, $\backslash pi$, $e$ oraz jednostkę urojoną $i$. Jest często określana jako „najpiękniejszy wzór matematyczny”.

Uogólnienie

Tożsamość Eulera jest szczególnym przypadkiem ogólniejszej tożsamości, w której pierwiastki z jedynki $n$-tego stopnia sumują się do 0 dla $n\; >\; 1$:

$\backslash sum\_\{k=0\}^\{n-1\}\; e^\backslash frac\{2\backslash pi\; i\; k\}\{n\}\; =\; 0.$