Wyznacznik Slatera

Wyznacznik Slatera

Wyznacznik Slatera to funkcja falowa, która przybliża stan układu N fermionów. Dla układu, gdzie $\backslash psi\_i(\backslash alpha\_j)$ opisuje $j$-tą cząstkę, funkcja falowa układu ma postać:

Ten zapis określamy jako wyznacznik Slatera.

Wyprowadzenie

Dla dwóch cząstek, najprostsza funkcja falowa to iloczyn funkcji jednocząstkowych:

$\backslash psi(\backslash alpha\_1,\; \backslash alpha\_2)=\backslash psi\_1(\backslash alpha\_1)\backslash psi\_2(\backslash alpha\_2).$

Jednak taka funkcja nie spełnia wymogu antysymetryczności dla fermionów, co jest istotne w kontekście reguły Pauliego:

$\backslash psi(\backslash alpha\_1,\; \backslash alpha\_2)=-\backslash psi(\backslash alpha\_2,\; \backslash alpha\_1).$

Prawidłowa funkcja dwucząstkowa, która jest antysymetryczna, ma postać:

$\backslash psi(\backslash alpha\_1,\; \backslash alpha\_2)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\backslash \{\backslash psi\_1(\backslash alpha\_1)\backslash psi\_2(\backslash alpha\_2)\; –\; \backslash psi\_2(\backslash alpha\_1)\backslash psi\_1(\backslash alpha\_2)\backslash \}.$

Gdy obie funkcje jednocząstkowe są identyczne, wartość funkcji wynosi zero, co potwierdza zgodność z regułą Pauliego.

Uogólnienie

Rozszerzając to rozumowanie na dowolną liczbę fermionów, uzyskujemy funkcję opisaną za pomocą wyznacznika. Funkcja ta posiada odpowiednie właściwości:

• Jest całkowicie antysymetryczna.
• Znika, gdy dwie funkcje falowe są identyczne.

Oznacza to, że eliminowane są wszelkie funkcje symetryczne względem permutacji pary fermionów, co zabezpiecza przed naruszeniem reguły Pauliego. Wyznacznik Slatera definiuje się jako antysymetryczny tensor, który można otrzymać przez rozwinięcie Laplace’a.

Nazwa pochodzi od amerykańskiego fizyka Johna C. Slatera (1900–1976). Wyznacznik Slatera jest wykorzystywany w metodzie obliczeniowej Hartree-Focka, a w bardziej zaawansowanych metodach obliczeniowych konieczne jest stosowanie kombinacji liniowych wyznaczników Slatera.