Równanie kwadratowe – definicja i forma
Równanie kwadratowe to równanie, które można przedstawić w postaci:
ax² + bx + c = 0
gdzie:
- a – współczynnik przy x² (a ≠ 0),
- b – współczynnik przy x,
- c – wyraz wolny.
Rozwiązywanie równania kwadratowego
Równanie kwadratowe można rozwiązać na kilka sposobów, w tym:
- metoda faktoryzacji,
- metoda dopełniania kwadratu,
- wzór kwadratowy.
Wzór kwadratowy
Najpopularniejszym sposobem rozwiązania równania kwadratowego jest użycie wzoru kwadratowego:
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
Wartość wyrażenia pod pierwiastkiem, b² – 4ac, nazywa się deltą (Δ) i pozwala określić liczbę i rodzaj rozwiązań równania:
- Δ > 0: dwa różne rozwiązania,
- Δ = 0: jedno rozwiązanie,
- Δ < 0: brak rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Przykład rozwiązania
Rozważmy równanie kwadratowe:
2x² – 4x – 6 = 0
Współczynniki to:
- a = 2,
- b = -4,
- c = -6.
Obliczamy deltę:
Δ = (-4)² – 4 * 2 * (-6) = 16 + 48 = 64
Ponieważ Δ > 0, obliczamy dwa rozwiązania:
x₁ = (4 + √64) / (2 * 2) = (4 + 8) / 4 = 3
x₂ = (4 – √64) / (2 * 2) = (4 – 8) / 4 = -1
Rozwiązania równania to x₁ = 3 oraz x₂ = -1.
Podsumowanie
Równania kwadratowe są istotnym elementem matematyki, a ich rozwiązania można uzyskać różnymi metodami. Zrozumienie formy i sposobów rozwiązywania tych równań jest kluczowe w wielu dziedzinach matematyki i nauk przyrodniczych.
