Reklama

Wielomiany Legendre’a

Wielomiany Legendre’a, nazwane na cześć Adriena-Marie Legendre’a, są definiowane za pomocą wzoru Rodriguesa:

Reklama

$P_n = \frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n\quad (n=0,1,\dots).$

Mogą być również wyrażane w postaci:

Reklama

$P_n(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{i=0}^{[\frac{n}{2}]}(-1)^i{n \choose i}{2n-2i \choose n}x^{n-2i}.$

Wielomiany Legendre’a są współczynnikami w rozwinięciu funkcji G(x,t) w szereg Maclaurina:

$G(x,t) = (1 – 2xt + t^2)^{-1/2} = \sum_{l=0}^\infty P_l(x) t^l.$

Wielomiany Legendre’a mają kilka istotnych właściwości:

Zależność rekurencyjna:
$P_{n+1}(x)=\frac{2n+1}{n+1}x P_n(x)-\frac{n}{n+1} P_{n-1}(x)\quad (n=1,2,\dots).$
Ortogonalność:
Na przedziale $[-1,1]$ , spełniają warunek ortogonalności z wagą $p(x)=1$ :
$\int_{-1}^1P_m(x)P_n(x)dx=\frac{2}{2n+1}\delta_{mn}.$

Układ $\{\sqrt{n+\tfrac{1}{2}}P_n\colon\, n\in \mathbb{N}\}$ jest ortonormalny w przedziale $[-1,1]$ .

Oto kilka pierwszych wielomianów Legendre’a:

$P_0(x)=1$
$P_1(x)=x$
$P_2(x)=\tfrac{1}{2}(3x^2-1)$
$P_3(x)=\tfrac{1}{2}(5x^3-3x)$
$P_4(x)=\tfrac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)$
$P_5(x)=\tfrac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)$
$P_6(x)=\tfrac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5)$
$P_7(x)=\tfrac{1}{16}(429x^7-693x^5+315x^3-35x)$
$P_8(x)=\tfrac{1}{128}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)$
$P_9(x)=\tfrac{1}{128}(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)$
$P_{10}(x)=\tfrac{1}{256}(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)$
$P_{11}(x)=\tfrac{1}{256}(88179x^{11} – 230945x^9 + 218790x^7 – 90090x^5 + 15015x^3 – 693x)$

Wielomiany Legendre’a są również związane z funkcjami Legendre’a.

Reklama

Najnowsze aktualności:

Reklama