Wielomiany Hermite’a

Wielomiany Hermite’a

Wielomiany Hermite’a to wielomiany o współczynnikach rzeczywistych, które są rozwiązaniem równania rekurencyjnego:

$H\_\{n+1\}(x)\; =\; 2xH\_n(x)\; –\; 2nH\_\{n-1\}(x.$

Warunki początkowe to:

• $H\_0(x)\; =\; 1$
• $H\_1(x)\; =\; 2x$

Wielomiany te znajdują zastosowanie w opisie kwantowego oscylatora harmonicznego.

Równoważne definicje

Wielomiany Hermite’a można zdefiniować na kilka sposobów, w tym:

• Wzór Rodriguesa: $H\_n(x)\; =\; (-1)^n\; e^\{x^2\}\; \backslash frac\{d^n\}\{dx^n\}\; e^\{-x^2\}$
• Definicja całkowa: $H\_n(x)\; =\; \backslash frac\{2^n\}\{\backslash sqrt\{\backslash pi\}\}\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty(x+it)^ne^\{-t^2\}dt$
• Definicja pochodnej: $H\_n(x)\; =\; \backslash frac\{d^n\}\{dt^n\}e^\{-t^2+2xt\}\backslash Bigg|\_\{t=0\}$

Wykładnicza funkcja tworząca

Wykładnicza funkcja tworząca dla wielomianów Hermite’a wyraża się jako:

$G(x,t)=e^\{-t^2\; +\; 2tx\}\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; H\_n(x)\; \backslash frac\{t^n\}\{n!\}.$

Oznacza to, że rozwinięcie $e^\{-t^2\; +\; 2tx\}$ w szereg Maclaurina względem $t$ dostarcza współczynników $H\_n(x)$.

Wykresy pierwszych czterech wielomianów

Poniżej przedstawione są pierwsze siedem wielomianów Hermite’a:

• $H\_0(x)\; =\; 1$
• $H\_1(x)\; =\; 2x$
• $H\_2(x)\; =\; 4x^2\; –\; 2$
• $H\_3(x)\; =\; 8x^3\; –\; 12x$
• $H\_4(x)\; =\; 16x^4\; –\; 48x^2\; +\; 12$
• $H\_5(x)\; =\; 32x^5\; –\; 160x^3\; +\; 120x$
• $H\_6(x)\; =\; 64x^6\; –\; 480x^4\; +\; 720x^2\; –\; 120$
• $H\_7(x)\; =\; 128x^7\; –\; 1344x^5\; +\; 3360x^3\; –\; 1680x$

Własności wielomianów Hermite’a

Wielomiany Hermite’a mają następujące właściwości:

• $H\_n(x)$ jest wielomianem $n$-tego stopnia.
• $\backslash frac\{dH\_n(x)\}\{dx\}\; =\; 2nH\_\{n-1\}(x)$
• $H\_\{2n\}(0)\; =\; (-1)^n\; \backslash frac\{(2n)!\}\{n!\}$
• $H\_n(-x)\; =\; (-1)^n\; H\_n(x)$ (parzystość dla $n$ parzystego, nieparzystość dla $n$ nieparzystego).
• $\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; H\_n(x)H\_m(x)e^\{-x^2\}dx\; =\; \backslash sqrt\{\backslash pi\}2^n\; n!\; \backslash delta\_\{nm\}$ (ortogonalność).