Wielomian minimalny

Wielomian minimalny macierzy

Wielomian minimalny macierzy kwadratowej $A$ to najniższy stopniem wielomian $\backslash psi(\backslash lambda)$, który spełnia równanie $\backslash psi(A)=0$. Współczynnik przy najwyższej potędze $\backslash lambda$ wynosi 1. Alternatywnie, dla przekształcenia liniowego $f$, wielomian minimalny $\backslash psi(\backslash lambda)$ przekształca każdy wektor na wektor zerowy, a jego stopień jest minimalny.

Istnieje tylko jeden wielomian minimalny dla danej macierzy $A$. Jest on powiązany z wielomianem charakterystycznym $\backslash varphi(\backslash lambda)$ przez zależność:

$\backslash psi\; (\backslash lambda)=\backslash frac\{\backslash varphi\; (\backslash lambda)\}\{D\_\{n-1\}(\backslash lambda)\}$,

gdzie $D\_\{n-1\}(\backslash lambda)$ to największy wspólny dzielnik elementów macierzy dołączonej $[\backslash lambda\; E\; –\; A]^D$, z $E$ jako macierzą jednostkową.

Algorytm wyznaczania

Aby wyznaczyć wielomian minimalny $\backslash psi(\backslash lambda)$ macierzy $A$, należy wykonać następujące kroki:

• Wyznaczyć wielomian charakterystyczny $\backslash varphi\; (\backslash lambda)$ macierzy $A.$
• Obliczyć macierz dołączoną $[\backslash lambda\; E\; –\; A]^D$.
• Znaleźć $D\_\{n-1\}(\backslash lambda)$, będący największym wspólnym dzielnikiem elementów macierzy dołączonej.
• Obliczyć wielomian minimalny używając wzoru $\backslash psi\; (\backslash lambda)=\backslash frac\{\backslash varphi\; (\backslash lambda)\}\{D\_\{n-1\}(\backslash lambda)\}$.

Przykład

Rozważmy macierz:

Najpierw obliczamy wielomian charakterystyczny:

Następnie wyznaczamy macierz dołączoną:

Wszystkie elementy macierzy dołączonej są podzielne przez $\backslash lambda\; -1$, co prowadzi do obliczenia:

$\backslash psi\; (\backslash lambda)=\backslash frac\{\backslash varphi\; (\backslash lambda)\}\{D\_\{n-1\}(\backslash lambda)\}=(\backslash lambda\; -1)^2.$

Ostatecznie, wielomian minimalny macierzy $A$ to $\backslash psi\; (\backslash lambda)=(\backslash lambda\; -1)^2.$