Wielomian

Wielomian

Wielomian, znany także jako suma algebraiczna, to wyrażenie algebraiczne będące sumą jednomianów. Ma zastosowanie w różnych dziedzinach matematyki, w tym analizie matematycznej i algebrze. W analizie wielomiany służą do przedstawiania funkcji w postaci ciągów, a w algebrze są kluczowe w teorii Galois i geometrii.

Definicje

Wielomian jednej zmiennej można zdefiniować jako wyrażenie postaci:

$a\_nx^n\; +\; a\_\{n-1\}x^\{n-1\}\; +\; \backslash ldots\; +\; a\_1x\; +\; a\_0\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^na\_kx^k,$

gdzie $a\_n\; \backslash neq\; 0$. Współczynniki $a\_0,\; a\_1,\; \backslash ldots,\; a\_n$ są współczynnikami wielomianu. Stopień wielomianu to najwyższy stopień jego składników, oznaczany symbolem $\backslash deg$.

Zależności

Dla niezerowych wielomianów $f$ i $g$ zachodzą następujące zależności:

• $\backslash deg(f\; +\; g)\; \backslash leq\; \backslash max(\backslash deg\; f,\; \backslash deg\; g)$
• $\backslash deg(fg)\; =\; \backslash deg\; f\; +\; \backslash deg\; g$

Wielomiany i ich reprezentacja

Każde wyrażenie, które można przekształcić w wielomian za pomocą podstawowych działań, uznawane jest za wielomian. Na przykład, wyrażenie $(x+1)^3$ można przekształcić do postaci $x^3\; +\; 3x^2\; +\; 3x\; +\; 1$.

Funkcje wielomianowe

Wielomiany generują funkcje wielomianowe, które są określone dla dowolnej liczby zmiennych. Wartość wielomianu uzyskuje się przez podstawienie liczb w miejsce zmiennych i wykonanie działań algebraicznych. Schemat Hornera umożliwia efektywne obliczenie wartości wielomianu.

Równania wielomianowe

Równanie wielomianowe to równanie, w którym przyrównywane są dwa wielomiany, na przykład $3x^2\; +\; 4x\; –\; 5\; =\; 0$. Równania te mają wiele rozwiązań, a ich analiza może obejmować nierówności algebraiczne.

Działania na wielomianach

Na wielomianach można przeprowadzać podstawowe działania, takie jak:

• Suma i iloczyn wielomianów są wielomianami.
• Pochodna wielomianu jest wielomianem.
• Funkcja pierwotna (całka) wielomianu jest wielomianem.

Pierwiastki wielomianów

Pierwiastek wielomianu $f(x)$ to liczba $a$, dla której $x-a$ dzieli $f$. Miejsca zerowe funkcji odpowiadają pierwiastkom wielomianu, co związane jest z twierdzeniem Bézouta.

Rozkład na czynniki

Wielomiany można rozkładać na iloczyny wielomianów liniowych oraz nieliniowych. Metody rozkładu obejmują wzory skróconego mnożenia oraz twierdzenie Bézouta.

Zastosowania wielomianów

Wielomiany odgrywają istotną rolę w analizie matematycznej, numerycznej oraz algebrze liniowej. Umożliwiają przybliżenie funkcji oraz tworzenie systemów równań i analizę ich właściwości. W rozwiązywaniu problemów wykorzystuje się także algorytmy do obliczania wartości i pierwiastków wielomianów.