Wektor falowy

Wektor falowy

Wektor falowy, oznaczany jako $\backslash overrightarrow\{k\},$, wskazuje kierunek rozchodzenia się fali oraz zwrot jej promienia. Jego wartość, znana jako liczba falowa, wyraża się wzorem:

$k=\backslash left|\; \backslash overrightarrow\{k\}\; \backslash right|=\backslash frac\{2\backslash pi\}\{\backslash lambda\},$

gdzie $\backslash lambda$ to długość fali. Fala opisuje drgania rozchodzące się w przestrzeni, co można ująć jako funkcję położenia i czasu:

$\backslash psi\; (\backslash overrightarrow\{r\},t)\; =\; A\_0\; \backslash cos(\backslash omega\; t-\backslash overrightarrow\{k\}\backslash cdot\; \backslash overrightarrow\{r\}+\backslash varphi).$

Wektor falowy stanowi uogólnienie liczby falowej dla fal w ośrodku jednowymiarowym:

$\backslash psi(z,t)\; =\; A\_0\; \backslash cos(\backslash omega\; t\; –\; k\; z\; +\backslash varphi).$

W mechanice kwantowej

W mechanice kwantowej cząstki wykazują zarówno cechy falowe, jak i korpuskularne. Każdej cząstce o pędzie p odpowiada fala o wektorze falowym k:

$\backslash mathbf\; p\; =\; \backslash hbar\; \backslash mathbf\; k.$

Dla cząstki nierelatywistycznej, gdy $v\backslash ll\; c$, istnieje związek energii z wektorem falowym:

$E\_\backslash mathbf\; p\; =\; \backslash hbar\; \backslash omega\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\; p^2\}\{2m\}\; =\; \backslash frac\{\backslash hbar^2\; \backslash mathbf\; k^2\}\{2m\},$

gdzie $m$ to masa cząstki lub jej masa efektywna $m^*$ w środowisku materialnym.

Podsumowanie

• Wektor falowy $\backslash overrightarrow\{k\}$ jest kluczowy w opisie rozchodzenia się fal.
• Liczba falowa $k$ jest związana z długością fali $\backslash lambda$.
• Fale w mechanice kwantowej łączą cechy falowe i korpuskularne cząstek.
• Związek między pędem a wektorem falowym jest fundamentalny dla zrozumienia energii cząstek.