Reklama

Warunek Lipschitza

Warunek Lipschitza odnosi się do ograniczenia szybkości zmian wartości funkcji. Funkcje, które spełniają ten warunek, nazywane są funkcjami lipschitzowskimi. Nazwa pochodzi od niemieckiego matematyka Rudolfa Lipschitza.

Reklama

Definicja

Funkcja $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ spełnia warunek Lipschitza z określoną stałą $L$ , jeśli dla dowolnych $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ zachodzi nierówność:

$|f(x_1) – f(x_2)| \leqslant L |x_1 – x_2|.$

Reklama

Definicję tę można rozszerzyć na funkcje między przestrzeniami metrycznymi.

Przykłady funkcji lipschitzowskich

Funkcja $f(x)=\sqrt{x^2+5}$ spełnia warunek Lipschitza ze stałą $L = 1.$
Funkcja $f(x) = |x|$ jest lipschitzowska ze stałą $L = 1.$
Funkcja $f(x) = x^2$ nie spełnia warunku Lipschitza w ogólności, ale na ograniczonym przedziale $[a, b]$ spełnia go z odpowiednimi stałymi.

Podstawowe własności

Każda funkcja lipschitzowska jest jednostajnie ciągła.
Funkcje lipschitzowskie są prawie wszędzie różniczkowalne (twierdzenie Rademachera).
Funkcja różniczkowalna spełnia warunek Lipschitza, gdy jej pochodna jest ograniczona przez $L.$
Jeśli ciąg funkcji $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ zbiega według miary do funkcji $f$ , a funkcja $g$ jest lipschitzowska, to ciąg $(g \circ f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ zbiega do $g \circ f.$